20 4. Questāo (20 pontos) Determine os extremos locais e pontos de sela, se houverem, da função f(x, y)=5 x^{2}-3 x y+y^{2}-15 x-y+2.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=5x^{2}-3xy+y^{2}-15x-y+2
e pede que eu determine os extremos locais e os pontos de sela, se houverem.\n
Informações disponíveis no enunciado:
\text{A função }f\text{ está explicitamente dada por }f(x,y)=5x^{2}-3xy+y^{2}-15x-y+2.çãá
\text{Necessito: encontrar todos os pontos críticos }(x,y)\text{ e classificá‑los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.}íáíá

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar os pontos críticos calculando o gradiente e igualando a zero. Vou explicar o que é o gradiente e como derivar passo a passo.\n
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo, e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada em relação a y mantendo x fixo.\n
Calculo cada parcial passo a passo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{2}\big)=10x,
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3xy\big)=-3y \quad\text{(porque \(y\) é tratado como constante)},é
\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big)=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}\big(-15x\big)=-15,\quad \frac{\partial}{\partial x}\big(-y\big)=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}\big(2\big)=0.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=10x-3y-15.
Agora as parciais em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(5x^{2}\big)=0,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3xy\big)=-3x,
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)=2y,\quad \frac{\partial}{\partial y}\big(-15x\big)=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}\big(-y\big)=-1,\quad \frac{\partial}{\partial y}\big(2\big)=0.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-3x+2y-1.

Passo 3

Para achar pontos críticos resolvo o sistema \nabla f(x,y)=0\), isto é: \[\begin{cases} 10x-3y-15=0,\\[4pt] -3x+2y-1=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema linear por substituição (explico cada passo para que dê pra fazer na prova sem calculadora).\n
Da segunda equação isolamos y\]: \[-3x+2y-1=0 \;\Longrightarrow\; 2y=3x+1 \;\Longrightarrow\; y=\frac{3x+1}{2}.\] Substituo esse \(y na primeira equação:
10x-3\left(\frac{3x+1}{2}\right)-15=0.
Multiplico ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
20x-3(3x+1)-30=0.
Calculo o produto e simplifico:
20x-9x-3-30=0 \;\Longrightarrow\; 11x-33=0 \;\Longrightarrow\; x=3.
Agora volto em y=\frac{3x+1}{2}:
y=\frac{3\cdot 3+1}{2}=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5.
Portanto existe um único ponto crítico: (x,y)=(3,5).]

Passo 4

Agora vou classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis. Vou explicar o que é e como usar.\n
A matriz Hessiana H de f é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
As entradas são:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}= \text{derivada de }\frac{\partial f}{\partial x}\text{ em relação a }x,çã
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}= \text{derivada de }\frac{\partial f}{\partial x}\text{ em relação a }y,çã
e assim por diante. O teste das derivadas segundas diz que, no ponto crítico:
  • se D=\det H>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0, então mínimo local;
  • se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}<0, então máximo local;
  • se D<0, então ponto de sela;
  • se D=0, o teste é inconclusivo.\n
    Calculando as segundas derivadas (aqui são constantes porque f é quadrática):
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=10,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-3,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2.
Assim a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}10 & -3\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo o determinante D da Hessiana:
D=\det(H)=\left(10\right)\left(2\right)-\left(-3\right)^{2}=20-9=11.
Observações: D=11>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=10>0. Pelo teste das derivadas segundas, isso indica que o ponto crítico (3,5) é um mínimo local.

Passo 6

Para completar, calculo o valor de f no ponto (3,5), pois na prova muitas vezes pedem também o valor do extremo:
f(3,5)=5\cdot 3^{2}-3\cdot 3\cdot 5+5^{2}-15\cdot 3-5+2.
Faço as contas passo a passo:
5\cdot 3^{2}=5\cdot 9=45,
-3\cdot 3\cdot 5=-45,
5^{2}=25,\quad -15\cdot 3=-45,\quad -5=-5,\quad +2=2.
Somando: 45-45+25-45-5+2= -23. Logo
f(3,5)=-23.

Passo 7

Conclusão final e observações finais para a prova:\n
  • Existe apenas um ponto crítico, em (3,5). Pelo teste das derivadas segundas, é um mínimo local porque D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0.\n
  • Não há máximos locais nem pontos de sela (já que não surgiram outros pontos críticos).\n
    Vai tranquilo: o procedimento padrão para esses exercícios é sempre esse — achar o gradiente, resolver o sistema \nabla f=0, calcular a Hessiana e aplicar o teste. Com prática as contas ficam mecânicas e rápidas; você já tem a receita completa aqui para repetir na prova.

Resposta

Ponto crítico (3,5): mínimo local com valor f(3,5)=-23.
Não há máximos locais nem pontos de sela.

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