20 4. Questāo (20 pontos) Determine os extremos locais e pontos de sela, se houverem, da função f(x, y)=5 x^{2}-3 x y+y^{2}-15 x-y+2.
Passo 1
O enunciado fornece a função
f(x,y)=5x^{2}-3xy+y^{2}-15x-y+2
e pede que eu determine os extremos locais e os pontos de sela, se houverem.\n
Informações disponíveis no enunciado:
\text{A função }f\text{ está explicitamente dada por }f(x,y)=5x^{2}-3xy+y^{2}-15x-y+2.
\text{Necessito: encontrar todos os pontos críticos }(x,y)\text{ e classificá‑los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.}
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar os pontos críticos calculando o gradiente e igualando a zero. Vou explicar o que é o gradiente e como derivar passo a passo.\n
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo, e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada em relação a y mantendo x fixo.\n
Calculo cada parcial passo a passo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{2}\big)=10x,
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3xy\big)=-3y \quad\text{(porque \(y\) é tratado como constante)},
Para achar pontos críticos resolvo o sistema \nabla f(x,y)=0\), isto é:
\[\begin{cases} 10x-3y-15=0,\\[4pt] -3x+2y-1=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema linear por substituição (explico cada passo para que dê pra fazer na prova sem calculadora).\n
Da segunda equação isolamos y\]:
\[-3x+2y-1=0 \;\Longrightarrow\; 2y=3x+1 \;\Longrightarrow\; y=\frac{3x+1}{2}.\]
Substituo esse \(y na primeira equação:
10x-3\left(\frac{3x+1}{2}\right)-15=0.
Multiplico ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Portanto existe um único ponto crítico: (x,y)=(3,5).]
Passo 4
Agora vou classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis. Vou explicar o que é e como usar.\n
A matriz Hessiana H de f é a matriz das segundas derivadas:
Observações: D=11>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=10>0. Pelo teste das derivadas segundas, isso indica que o ponto crítico (3,5) é um mínimo local.
Passo 6
Para completar, calculo o valor de f no ponto (3,5), pois na prova muitas vezes pedem também o valor do extremo:
Conclusão final e observações finais para a prova:\n
Existe apenas um ponto crítico, em (3,5). Pelo teste das derivadas segundas, é um mínimo local porque D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0.\n
Não há máximos locais nem pontos de sela (já que não surgiram outros pontos críticos).\n
Vai tranquilo: o procedimento padrão para esses exercícios é sempre esse — achar o gradiente, resolver o sistema \nabla f=0, calcular a Hessiana e aplicar o teste. Com prática as contas ficam mecânicas e rápidas; você já tem a receita completa aqui para repetir na prova.
Resposta
Ponto crítico (3,5): mínimo local com valor f(3,5)=-23.
Não há máximos locais nem pontos de sela.