Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição. \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x \sin x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{3}x\,\sin x\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A função integranda é \cos^{3}x\,\sin x.
O intervalo de integração é de x=0 até x=\pi/2.
O objetivo é obter o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Conceito do método de substituição para integrais definidas (um mini-aula):
Se fizermos a substituição \,u=g(x)\, com g diferenciável, então \,du=g'(x)\,dx. Para integrais definidas a fórmula é
Isto funciona porque estamos trocando a variável de integração de x para u, e também atualizando os limites: o limite inferior vira u=g(a) e o superior vira u=g(b). É basicamente usar a regra da cadeia “ao contrário”.
Passo 3
Escolha da substituição e porquê:
Note que a derivada de \cos x é -\sin x, e a integranda contém um fator \sin x\,dx. Isso sugere a substituição
u=\cos x.
Calcule o diferencial:
du = -\sin x\,dx \quad\Rightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.
Vamos também transformar os limites de integração usando u=\cos x:
\text{quando } x=0\text{, } u=\cos 0 = 1;
\text{quando } x=\pi/2\text{, } u=\cos(\pi/2)=0.
Passo 4
Aplicando a substituição na integral (troca de variável e limites):
Conclusão final e interpretação rápida:
A integral original vale \tfrac{1}{4}. Foi importante escolher u=\cos x porque a presença de \sin x\,dx casou com du, simplificando a expressão para uma potência simples de u.