Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{3}x\,\sin x\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função integranda é \cos^{3}x\,\sin x.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=\pi/2.
  • O objetivo é obter o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Conceito do método de substituição para integrais definidas (um mini-aula):
Se fizermos a substituição \,u=g(x)\, com g diferenciável, então \,du=g'(x)\,dx. Para integrais definidas a fórmula é
\int_{a}^{b} f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.
Isto funciona porque estamos trocando a variável de integração de x para u, e também atualizando os limites: o limite inferior vira u=g(a) e o superior vira u=g(b). É basicamente usar a regra da cadeia “ao contrário”.

Passo 3

Escolha da substituição e porquê:
  • Note que a derivada de \cos x é -\sin x, e a integranda contém um fator \sin x\,dx. Isso sugere a substituição
u=\cos x.
  • Calcule o diferencial:
du = -\sin x\,dx \quad\Rightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.
  • Vamos também transformar os limites de integração usando u=\cos x:
\text{quando } x=0\text{, } u=\cos 0 = 1;
\text{quando } x=\pi/2\text{, } u=\cos(\pi/2)=0.

Passo 4

Aplicando a substituição na integral (troca de variável e limites):
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{3}x\,\sin x\,dx = \int_{x=0}^{x=\pi/2} u^{3}\,(\sin x\,dx) = \int_{u=1}^{u=0} u^{3}\,(-du).

Passo 5

Simplificar o sinal e reescrever os limites de forma usual:
\int_{u=1}^{u=0} u^{3}\,(-du) = -\int_{1}^{0} u^{3}\,du.
Usando a propriedade que trocar os limites muda o sinal,
-\int_{1}^{0} u^{3}\,du = \int_{0}^{1} u^{3}\,du.

Passo 6

Calcular a primitiva de u^{3} (regra da potência):
A regra da potência diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, então
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 7

Avaliar a integral definida entre 0 e 1:
\int_{0}^{1} u^{3}\,du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} = \frac{1}{4}.

Passo 8

Conclusão final e interpretação rápida:
A integral original vale \tfrac{1}{4}. Foi importante escolher u=\cos x porque a presença de \sin x\,dx casou com du, simplificando a expressão para uma potência simples de u.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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