5 5a Questão (20 pontos) Determine os extremos absolutos da função f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2} sobre o disco x^{2}+y^{2} \leq 2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2} e pede os extremos absolutos da função sobre o disco fechado
x^{2}+y^{2}\leq 2.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função explícita: f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}.
  • O domínio onde procurar extremos é o disco fechado \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 2\}.
  • Queremos os extremos absolutos (máximo e mínimo) dentro desse disco, incluindo a fronteira.

Passo 2

Primeiro comentário teórico rápido (útil para a prova): uma função contínua em um conjunto compacto (disco fechado é compacto) atinge máximos e mínimos absolutos. A função f é polinomial, logo contínua; portanto existem extremos absolutos sobre o disco e eles ocorrem ou em pontos críticos interiores (gradiente zero) ou na fronteira x^{2}+y^{2}=2.

Passo 3

Achar pontos críticos no interior: calculamos as derivadas parciais (gradiente).
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-x+2y.
Para pontos críticos igualamos a zero:
2x-y=0,\qquad -x+2y=0.
Resolve-se esse sistema linear. Multiplique a primeira por 2 e some à segunda, ou observe que as equações são equivalentes; subtraindo 2 vezes a segunda da primeira também dá a mesma informação. Resolvend o sistema:
da primeira y=2x. Substituindo na segunda -x+2(2x)=0\Rightarrow -x+4x=0\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. Então y=2\cdot 0=0.
Logo há um único ponto crítico interior: (0,0). Esse ponto pertence ao disco porque 0^{2}+0^{2}=0\leq 2.
Avaliamo-lo em f:
f(0,0)=0.

Passo 4

Classificação do ponto crítico (razoamento didático): podemos mostrar que f é sempre não negativa, o que torna (0,0) um mínimo absoluto na reta inteira (e, portanto, no disco). Faço isso completando quadrado:
f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}=(x-\tfrac{y}{2})^{2}+\tfrac{3}{4}y^{2}.
Explicando: expandindo (x-\tfrac{y}{2})^{2} x^{2}-x y+\tfrac{y^{2}}{4}; somando \tfrac{3}{4}y^{2} recuperamos y^{2}. Dessa forma fica claro que ambos os termos são quadrados (não-negativos), logo
f(x,y)\geq 0\quad\text{para todos }(x,y),
e f(x,y)=0 só se ambos os termos forem zero, isto é, se x-\tfrac{y}{2}=0 e y=0, o que implica y=0 e x=0. Portanto (0,0) é o único ponto onde f=0 e é mínimo absoluto na região inteira. Conclusão parcial:
  • Mínimo absoluto no disco: f_{\min}=0 em (0,0).

Passo 5

Agora procurar máximo absoluto. Pelo comentário do Passo 2, ele pode ocorrer na fronteira x^{2}+y^{2}=2. Para analisar a fronteira é muito prático usar coordenadas polares (método escolhido por ser mais simples e direto aqui): escrevemos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge 0,\\ \theta\in\mathbb{R}.
No disco temos 0\le r\le \sqrt{2}, e na fronteira específica r=\sqrt{2}.
Substituindo em f:
f(r,\theta)=r^{2}\big(\cos^{2}\theta-\cos\theta\sin\theta+\sin^{2}\theta\big).
Simplificamos o parêntese usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin 2\theta:
f(r,\theta)=r^{2}\Big(1-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Big).
Na fronteira r^{2}=2, então
f_{\text{fronteira}}(\theta)=2\Big(1-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Big)=2-\sin 2\theta.

Passo 6

Analisar f_{\text{fronteira}}(\theta)=2-\sin 2\theta. Sabemos que \sin 2\theta varia entre -1 e 1. Então
2-\sin 2\theta \in [2-1,\;2-(-1)]=[1,\;3].
Assim o valor mínimo na fronteira é 1 (quando \sin2\theta=1) e o valor máximo na fronteira é 3 (quando \sin2\theta=-1).
Encontrar os ângulos que dão o máximo: \sin 2\theta=-1 quando 2\theta=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, i.e.
\theta=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Tomando k=0 e k=1 obtemos duas direções distintas mod 2\pi: \theta=-\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{3\pi}{4}. Com r=\sqrt{2} isso fornece os pontos:
Para \theta=-\tfrac{\pi}{4}:
x=\sqrt{2}\cos(-\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}=1,\qquad y=\sqrt{2}\sin(-\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot\big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=-1.
Para \theta=\tfrac{3\pi}{4}:
x=\sqrt{2}\cos(\tfrac{3\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot\big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=-1,\qquad y=\sqrt{2}\sin(\tfrac{3\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=1.
Em ambos os pontos f(1,-1)=f(-1,1)=3, confirmando o máximo da fronteira.

Passo 7

Checagem final e conclusão lógica: já vimos que f(x,y)\ge 0 em toda a reta (então no disco o menor valor possível é pelo menos 0) e que f(0,0)=0, logo o mínimo absoluto no disco é 0 em (0,0). Para o máximo, como f(r,\theta)=r^{2}(1-\tfrac{1}{2}\sin2\theta) e o fator angular é sempre positivo (varia entre \tfrac{1}{2} e \tfrac{3}{2}), para cada direção f cresce com r^{2}, então o máximo ocorre com r máximo, isto é na fronteira r=\sqrt{2}; já encontramos que o maior valor na fronteira é 3 e ocorre em (1,-1) e (-1,1). Portanto estes são os extremos absolutos sobre o disco.

Resposta

Mínimo absoluto: f_{\min}=0 em (0,0).\nMáximo absoluto: f_{\max}=3 em (1,-1) e (-1,1).

Exercícios relacionados