5 5a Questão (20 pontos) Determine os extremos absolutos da função
sobre o disco
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os extremos absolutos da função sobre o disco fechado
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função explícita:
. - O domínio onde procurar extremos é o disco fechado
. - Queremos os extremos absolutos (máximo e mínimo) dentro desse disco, incluindo a fronteira.
Passo 2
Primeiro comentário teórico rápido (útil para a prova): uma função contínua em um conjunto compacto (disco fechado é compacto) atinge máximos e mínimos absolutos. A função
é polinomial, logo contínua; portanto existem extremos absolutos sobre o disco e eles ocorrem ou em pontos críticos interiores (gradiente zero) ou na fronteira
.
Passo 3
Achar pontos críticos no interior: calculamos as derivadas parciais (gradiente).
Para pontos críticos igualamos a zero:
Resolve-se esse sistema linear. Multiplique a primeira por 2 e some à segunda, ou observe que as equações são equivalentes; subtraindo
vezes a segunda da primeira também dá a mesma informação. Resolvend o sistema:
da primeira . Substituindo na segunda
. Então
.
Logo há um único ponto crítico interior: . Esse ponto pertence ao disco porque
.
Avaliamo-lo em :
da primeira
Logo há um único ponto crítico interior:
Avaliamo-lo em
Passo 4
Classificação do ponto crítico (razoamento didático): podemos mostrar que
é sempre não negativa, o que torna
um mínimo absoluto na reta inteira (e, portanto, no disco). Faço isso completando quadrado:
Explicando: expandindo
dá
; somando
recuperamos
. Dessa forma fica claro que ambos os termos são quadrados (não-negativos), logo
e
só se ambos os termos forem zero, isto é, se
e
, o que implica
e
. Portanto
é o único ponto onde
e é mínimo absoluto na região inteira. Conclusão parcial:
- Mínimo absoluto no disco:
em .
Passo 5
Agora procurar máximo absoluto. Pelo comentário do Passo 2, ele pode ocorrer na fronteira
. Para analisar a fronteira é muito prático usar coordenadas polares (método escolhido por ser mais simples e direto aqui): escrevemos
No disco temos
, e na fronteira específica
.
Substituindo em :
Substituindo em
Simplificamos o parêntese usando
e
:
Na fronteira
, então
Passo 6
Analisar
. Sabemos que
varia entre
e
. Então
Assim o valor mínimo na fronteira é
(quando
) e o valor máximo na fronteira é
(quando
).
Encontrar os ângulos que dão o máximo:
quando
, i.e.
Tomando
e
obtemos duas direções distintas mod
:
e
. Com
isso fornece os pontos:
Para :
Para
Para
:
Em ambos os pontos
, confirmando o máximo da fronteira.
Passo 7
Checagem final e conclusão lógica: já vimos que
em toda a reta (então no disco o menor valor possível é pelo menos
) e que
, logo o mínimo absoluto no disco é
em
. Para o máximo, como
e o fator angular é sempre positivo (varia entre
e
), para cada direção
cresce com
, então o máximo ocorre com
máximo, isto é na fronteira
; já encontramos que o maior valor na fronteira é
e ocorre em
e
. Portanto estes são os extremos absolutos sobre o disco.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
.\nMáximo absoluto:
em
e
.