Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
\{(x, y) \mid y<x^{2}\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto \{(x,y)\mid y<x^{2}\} é ou não simplesmente conexo.
Informações dadas: o conjunto é todo par (x,y) do plano que satisfaz a desigualdade estrita y<x^{2}. Não há mais restrições.

Passo 2

O que significa “simplesmente conexo” (de forma prática para este problema).
Definição útil: um subconjunto aberto e conectado U\subset\mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo se toda curva fechada contínua \gamma:[0,1]\to U (com \gamma(0)=\gamma(1)) pode ser deformada continuamente dentro de U até uma curva constante (ou seja, existe uma homotopia que contrai \gamma a um ponto).
Observação importante: homeomorfismos preservam propriedades topológicas como simplesmente conexo — se U é homeomorfo a V e V é simplesmente conexo, então U também é.

Passo 3

Transformação que simplifica o conjunto.
Considere a aplicação
F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad F(x,y)=(x,y-x^{2}).
Esta aplicação é contínua e tem inversa contínua
F^{-1}(x,u)=(x,u+x^{2}),
portanto F é um homeomorfismo do plano sobre si. Agora observe o efeito de F sobre o conjunto dado:
F\big(\{(x,y)\mid y<x^{2}\}\big)=\{(x,u)\mid u<0\}.
Isto porque u=y-x^{2} e y<x^{2} equivale a u<0. Então o conjunto original é homeomorfo ao semi-plano inferior \{(x,u)\mid u<0\}.

Passo 4

Propriedade do semi-plano inferior.
O semi-plano \{(x,u)\mid u<0\} é um conjunto convexo (dado dois pontos com segunda coordenada negativa, o segmento que os une tem segunda coordenada também negativa). Para conjuntos convexos existe uma homotopia explícita que contrai qualquer laço a um ponto: se \gamma:[0,1]\to H é um laço em H e p\in H é um ponto fixo (por exemplo p=(0,-1)), então a homotopia
H(s,t)=(1-t)\gamma(s)+t\,p,\qquad s\in[0,1],\\ t\in[0,1],
é contínua, começa em H(s,0)=\gamma(s) e termina em H(s,1)=p. Como H é convexo, todos os pontos (1-t)\gamma(s)+t\,p permanecem em H (a segunda coordenada permanece negativa). Logo qualquer laço em H é homotópico ao laço constante: H é simplesmente conexo.

Passo 5

Transferindo a simples conexidade de volta ao conjunto original.
Já vimos que F é um homeomorfismo que leva o conjunto original S=\{(x,y)\mid y<x^{2}\} ao semi-plano H=\{(x,u)\mid u<0\}. Como H é simplesmente conexo e a propriedade de ser simplesmente conexo é preservada por homeomorfismos, segue que S também é simplesmente conexo. Se quiser uma formulação explícita: dada uma curva fechada \gamma em S, a curva F\circ\gamma em H pode ser contraída por H(s,t) do passo anterior; aplicando F^{-1} a essa homotopia obtemos uma homotopia em S que contrai \gamma.

Passo 6

Comentário intuitivo final e incentivo.
Geométricamente: o conjunto é a região “abaixo” da parábola y=x^{2}, não há buracos nem ilhas isoladas — tudo é deformável para um ponto. Então a resposta é positiva; você acabou de ver uma técnica prática: tentar achar uma mudança de coordenadas simples (aqui um deslocamento vertical dependente de x) que transforme a região em algo óbvio (o semi-plano), e usar que homeomorfismos preservam propriedades topológicas.

Resposta

O conjunto \{(x,y)\mid y<x^{2}\} é simplesmente conexo.

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