Determine se o conjunto dado é ou não simplesmente conexo
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
é ou não simplesmente conexo.
Informações dadas: o conjunto é todo par do plano que satisfaz a desigualdade estrita
. Não há mais restrições.
Informações dadas: o conjunto é todo par
Passo 2
O que significa “simplesmente conexo” (de forma prática para este problema).
Definição útil: um subconjunto aberto e conectado é simplesmente conexo se toda curva fechada contínua
(com
) pode ser deformada continuamente dentro de
até uma curva constante (ou seja, existe uma homotopia que contrai
a um ponto).
Observação importante: homeomorfismos preservam propriedades topológicas como simplesmente conexo — se é homeomorfo a
e
é simplesmente conexo, então
também é.
Definição útil: um subconjunto aberto e conectado
Observação importante: homeomorfismos preservam propriedades topológicas como simplesmente conexo — se
Passo 3
Transformação que simplifica o conjunto.
Considere a aplicação
Considere a aplicação
Esta aplicação é contínua e tem inversa contínua
portanto
é um homeomorfismo do plano sobre si. Agora observe o efeito de
sobre o conjunto dado:
Isto porque
e
equivale a
. Então o conjunto original é homeomorfo ao semi-plano inferior
.
Passo 4
Propriedade do semi-plano inferior.
O semi-plano é um conjunto convexo (dado dois pontos com segunda coordenada negativa, o segmento que os une tem segunda coordenada também negativa). Para conjuntos convexos existe uma homotopia explícita que contrai qualquer laço a um ponto: se
é um laço em
e
é um ponto fixo (por exemplo
), então a homotopia
O semi-plano
é contínua, começa em
e termina em
. Como
é convexo, todos os pontos
permanecem em
(a segunda coordenada permanece negativa). Logo qualquer laço em
é homotópico ao laço constante:
é simplesmente conexo.
Passo 5
Transferindo a simples conexidade de volta ao conjunto original.
Já vimos que é um homeomorfismo que leva o conjunto original
ao semi-plano
. Como
é simplesmente conexo e a propriedade de ser simplesmente conexo é preservada por homeomorfismos, segue que
também é simplesmente conexo. Se quiser uma formulação explícita: dada uma curva fechada
em
, a curva
em
pode ser contraída por
do passo anterior; aplicando
a essa homotopia obtemos uma homotopia em
que contrai
.
Já vimos que
Passo 6
Comentário intuitivo final e incentivo.
Geométricamente: o conjunto é a região “abaixo” da parábola , não há buracos nem ilhas isoladas — tudo é deformável para um ponto. Então a resposta é positiva; você acabou de ver uma técnica prática: tentar achar uma mudança de coordenadas simples (aqui um deslocamento vertical dependente de
) que transforme a região em algo óbvio (o semi-plano), e usar que homeomorfismos preservam propriedades topológicas.
Geométricamente: o conjunto é a região “abaixo” da parábola
Resposta
O conjunto
é simplesmente conexo.