A equação está bem definida para todos os pontos (x,y) tais que (x,y)\neq(0,0) (o denominador x^{2}+y^{2} não pode ser zero). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceito de equação exata e verificação: uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata numa região se existe uma função \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x=M e \partial\Psi/\partial y=N. Uma condição prática (quando as derivadas são contínuas) é
Vamos calcular \partial M/\partial y e \partial N/\partial x detalhadamente.
Calculemos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} com M(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Trate x como constante e use a regra do quociente ou produto:
Como \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} (em qualquer ponto com x^{2}+y^{2}\neq0), a forma é localmente exata em regiões sem o ponto (0,0). Ou seja: método (a) é aplicável.
Passo 3
Encontrar a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Primeiro integramos M em relação a x (tratando y como constante):
Portanto a família de soluções implícitas obtida pelo método exato é \arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big)= constante, ou, de forma explícita, retas que passam pela origem y=kx (com k constante). Lembrete: como a equação não é definida em (0,0), falamos em soluções em regiões que não contenham a origem.
Passo 5
Método homogêneo: primeiro explicar o conceito e aplicar. Uma função F(x,y) é homogênea de grau n se F(tx,ty)=t^{n}F(x,y). Aqui tanto M quanto N satisfazem
ou seja, são homogêneas de grau -1. Para equações homogêneas de primeira ordem podemos passar para a forma y=vx (ou escrever dy/dx e usar v). Uma forma prática é escrever a equação como
Isso coincide com o resultado obtido pelo método exato.
Passo 6
Resumo e observações finais: ambas as abordagens levam à mesma família de soluções, retas que passam pela origem (exceto o próprio ponto (0,0)), expressas implicitamente por \arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big)= constante ou explicitamente por y=Kx. Nada contraditório: a forma exata forneceu uma função potencial envolvendo \arctan, e a redução homogênea mostrou que as soluções são proporcionais a x.