(20%) Questão 5. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
(x \ln x) \frac{d y}{d x}+y=3 x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
(x\ln x)\frac{dy}{dx}+y=3x^{3}.
Informações e observações importantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita éy=y(x).
  • A equação envolve\ln x,portanto só faz sentido parax>0.
  • Emx=1temos\ln 1=0,o que causa singularidade na forma padrão da equação; então tratamos as soluções em intervalos onde\ln x\neq0(por exemplo0<x<1ex>1).
]
A tarefa é encontrar a família de funções y(x) que satisfaçam a equação para os intervalos adequados de x.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo ambos os lados por x\ln x (válido onde x\ln x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x\ln x}\,y=\frac{3x^{3}}{x\ln x}.
Simplificando o lado direito:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x\ln x}\,y=\frac{3x^{2}}{\ln x}.
Aqui identificamos a forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
com
P(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad Q(x)=\frac{3x^{2}}{\ln x}.

Passo 3

Explicação didática do método que vamos usar (ferramenta chave): integrar por fator integrante.
  • Para uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), define-se o fator integrante \mu(x) como
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • Por que isto funciona? Porque, multiplicando a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y. Mais precisamente, se \mu'(x)=\mu(x)P(x), então
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y.
Isso é exatamente o lado esquerdo após multiplicar por \mu. Assim a equação se integra facilmente.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\int P(x)\,dx=\int \frac{1}{x\ln x}\,dx.
Essa integral é uma integral padrão: usar a substituição u=\ln x du=\dfrac{1}{x}\,dx, então
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+\text{const}=\ln|\ln x|+\text{const}.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|\ln x|\big)=|\ln x|.
Comentário sobre o valor absoluto: isso indica que o fator integrante pode ser tomado como \mu(x)=\ln x em intervalos onde \ln x>0 (ou \mu(x)=-\ln x onde \ln x<0); escolher \mu(x)=\ln x numa dessas subintervalos é suficiente porque sinais constantes se absorvem na constante de integração final. A solução final será válida em cada intervalo onde \ln x\neq0 (ou seja, 0<x<1 e x>1 separadamente).

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\ln x. Fazendo isso obtemos:
\ln x\cdot\frac{dy}{dx}+\frac{\ln x}{x\ln x}\,y=\ln x\cdot\frac{3x^{2}}{\ln x}.
Simplificando termos:
\ln x\cdot\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y=3x^{2}.
Pelo motivo exposto no Passo 3, o lado esquerdo é a derivada do produto \ln x\cdot y, pois \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}. Logo podemos reescrever como
\frac{d}{dx}\big(\ln x\;y\big)=3x^{2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(\ln x\;y\big)\,dx=\int 3x^{2}\,dx.
A integral do lado esquerdo dá diretamente \ln x\;y. A integral do lado direito é uma integral polinomial simples:
\ln x\;y=x^{3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos y para obter a solução geral:
y(x)=\frac{x^{3}+C}{\ln x},
válida nos intervalos onde \ln x\neq0 (isto é, para 0<x<1 e para x>1, cada um com possivelmente constantes C diferentes). Podemos também escrever a constante como C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (curta e elegante): partindo de \ln x\;y=x^{3}+C, derivando ambos os lados obtemos
\ln x\;y'+\frac{1}{x}y=3x^{2}.
Multiplicando por x recuperamos
(x\ln x)y'+y=3x^{3},
que é exatamente a equação inicial. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}+C}{\ln x},\qquad C\in\mathbb{R},\text{ para }x>0,\;x\neq1.

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