(20%) Questão 5. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
.
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
Informações e observações importantes dadas pelo enunciado:
- •A incógnita éy=y(x).
- •A equação envolve\ln x,portanto só faz sentido parax>0.
- •Emx=1temos\ln 1=0,o que causa singularidade na forma padrão da equação; então tratamos as soluções em intervalos onde\ln x\neq0(por exemplo0<x<1ex>1).
A tarefa é encontrar a família de funções
que satisfaçam a equação para os intervalos adequados de
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo ambos os lados por
(válido onde
):
Simplificando o lado direito:
Aqui identificamos a forma padrão
com
Passo 3
Explicação didática do método que vamos usar (ferramenta chave): integrar por fator integrante.
- Para uma equação da forma
, define-se o fator integrante como
- Por que isto funciona? Porque, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto . Mais precisamente, se , então
Isso é exatamente o lado esquerdo após multiplicar por
. Assim a equação se integra facilmente.
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Temos
Essa integral é uma integral padrão: usar a substituição
dá
, então
Portanto
Comentário sobre o valor absoluto: isso indica que o fator integrante pode ser tomado como
em intervalos onde
(ou
onde
); escolher
numa dessas subintervalos é suficiente porque sinais constantes se absorvem na constante de integração final. A solução final será válida em cada intervalo onde
(ou seja,
e
separadamente).
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos:
Simplificando termos:
Pelo motivo exposto no Passo 3, o lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
. Logo podemos reescrever como
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá diretamente
. A integral do lado direito é uma integral polinomial simples:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
para obter a solução geral:
válida nos intervalos onde
(isto é, para
e para
, cada um com possivelmente constantes
diferentes). Podemos também escrever a constante como
.
Passo 8
Verificação rápida (curta e elegante): partindo de
, derivando ambos os lados obtemos
Multiplicando por
recuperamos
que é exatamente a equação inicial. Logo a solução está correta.