(10%) Questão 1. Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
y^{\prime}=x / y^{2};

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{x}{y^{2}}.
Informações dadas:
\text{variável independente: }x,\qquad \text{função incógnita: }y(x),\qquad \text{equação: } \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{2}}.áçãóçã
Não foi dada condição inicial, portanto buscamos a solução geral (com constante de integração). Note que a expressão \frac{x}{y^{2}} só está definida quando y\neq 0, então a resolução valerá em intervalos onde y(x)\neq 0.

Passo 2

Vamos separar as variáveis: isso significa recolher termos em y multiplicando dy de um lado e termos em x multiplicando dx do outro. Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por y^{2} (válido enquanto y\neq 0) e por dx, obtemos
y^{2}\,dy = x\,dx.
A ideia por trás disso é tratar \frac{dy}{dx} como uma taxa que permite a separação e então integrar os dois lados em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{2}\,dy = \int x\,dx.
Calculemos as integrais usando a regra da potência: \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Assim,
\frac{1}{3}y^{3} = \frac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando por 3 e renomeando a constante obtemos
y^{3} = \frac{3}{2}x^{2} + C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Tomando a raiz cúbica:
y(x) = \left(\frac{3}{2}x^{2} + C_{1}\right)^{1/3}.
Observações: a raiz cúbica está bem definida para qualquer valor real dentro dos parênteses (número negativo também tem raíz cúbica real). Porém, lembrando o que dissemos no Passo 1, a equação diferencial original exige y\neq 0 no intervalo considerado; portanto a expressão acima só representa soluções em intervalos onde \left(\tfrac{3}{2}x^{2}+C_{1}\right)^{1/3}\neq 0. Se em algum ponto a quantidade dentro da raiz cúbica for zero, naquele ponto o termo \tfrac{x}{y^{2}} ficaria indefinido e a ODE não é satisfeita ali.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivamos a solução encontrada para checar que volta à equação original. Defina u(x)=\tfrac{3}{2}x^{2}+C_{1}, então y=u^{1/3}. Usando a regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot \frac{du}{dx}.
Como \frac{du}{dx}=3x, segue
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot 3x = x\,u^{-2/3}.
Mas u^{-2/3}=(u^{1/3})^{-2} = y^{-2}. Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{2}},
que é exatamente a equação dada. Perfeito — nossa solução satisfaz a ODE onde está bem definida.

Passo 6

Resumo final e interpretação prática: a família de soluções gerais é dada por
y(x)=\left(\frac{3}{2}x^{2}+C_{1}\right)^{1/3},
com C_{1}\in\mathbb{R}. Cada escolha de C_{1} dá uma solução válida em qualquer intervalo onde y(x)\neq 0. A solução constante y\equiv 0 não é solução da ODE porque o lado direito \tfrac{x}{y^{2}} fica indefinido.

Resposta

y(x)=\left(\frac{3}{2}x^{2}+C\right)^{1/3},\quad C\in\mathbb{R}.

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