(10%) Questão 1. Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
Não foi dada condição inicial, portanto buscamos a solução geral (com constante de integração). Note que a expressão
só está definida quando
, então a resolução valerá em intervalos onde
.
Passo 2
Vamos separar as variáveis: isso significa recolher termos em
multiplicando
de um lado e termos em
multiplicando
do outro. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
(válido enquanto
) e por
, obtemos
A ideia por trás disso é tratar
como uma taxa que permite a separação e então integrar os dois lados em relação às suas variáveis correspondentes.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Calculemos as integrais usando a regra da potência:
para
.
Assim,
Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Isolamos
. Multiplicando por
e renomeando a constante obtemos
onde
é outra constante arbitrária. Tomando a raiz cúbica:
Observações: a raiz cúbica está bem definida para qualquer valor real dentro dos parênteses (número negativo também tem raíz cúbica real). Porém, lembrando o que dissemos no Passo 1, a equação diferencial original exige
no intervalo considerado; portanto a expressão acima só representa soluções em intervalos onde
. Se em algum ponto a quantidade dentro da raiz cúbica for zero, naquele ponto o termo
ficaria indefinido e a ODE não é satisfeita ali.
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivamos a solução encontrada para checar que volta à equação original. Defina
, então
. Usando a regra da cadeia,
Como
, segue
Mas
. Logo
que é exatamente a equação dada. Perfeito — nossa solução satisfaz a ODE onde está bem definida.
Passo 6
Resumo final e interpretação prática: a família de soluções gerais é dada por
com
. Cada escolha de
dá uma solução válida em qualquer intervalo onde
. A solução constante
não é solução da ODE porque o lado direito
fica indefinido.