Um grupo de 9 pessoas, incluindo os irmãos João e Pedro, vai acampar. Eles vão se dividir em 3 barracas: uma para 2 pessoas, outra para 3 e a última para 4 pessoas. De quantos modos diferentes eles podem se organizar se João e Pedro não podem dormir na mesma barraca?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • Temos 9 pessoas no total, entre as quais estão os irmãos João e Pedro.
  • 3 barracas com capacidades diferentes: uma de 2 lugares, outra de 3 lugares e outra de 4 lugares.
  • Precisamos contar de quantos modos diferentes as 9 pessoas podem ser distribuídas nessas barracas, com a restrição de que João e Pedro não podem dormir na mesma barraca.
Observações explícitas que vou usar (assunções naturais): as pessoas são todas distintas (cada pessoa é um indivíduo diferente) e as barracas são distinguidas pelas suas capacidades (ou seja, a barraca de 2 é diferente da de 3 e da de 4).

Passo 2

Estratégia geral (princípio do complemento): é mais fácil contar o total de arranjos sem restrição e então subtrair os arranjos onde João e Pedro estão juntos. Em símbolos:
\text{(soluções desejadas)} = \text{(total sem restrição)} - \text{(casos em que João e Pedro estão juntos)}.çõçããã
Vou explicar e calcular cada parte com calma.

Passo 3

Contando o total de arranjos sem restrição.
Como as barracas têm tamanhos fixos 2,3,4 e são distintas, um modo natural de contar é: escolher quem ocupa a barraca de 2, depois quem ocupa a barraca de 3 entre os restantes, e o resto vai para a de 4.
A ferramenta que usamos aqui é a combinação: \displaystyle \binom{n}{k} (lê-se “ n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher k elementos distintos entre n, sem ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
Aplicando ao problema: primeiro escolhemos os 2 que vão para a barraca de 2: \displaystyle \binom{9}{2}. Depois escolhemos os 3 entre os 7 restantes para a barraca de 3: \displaystyle \binom{7}{3}. O resto ( 4 pessoas) vai para a barraca de 4.
Portanto o total sem restrição é
\binom{9}{2}\binom{7}{3}.
Calculemos os números: \displaystyle \binom{9}{2}=36 e \displaystyle \binom{7}{3}=35. Multiplicando:
\binom{9}{2}\binom{7}{3}=36\cdot35=1260.
Também é possível ver isso como \displaystyle \frac{9!}{2!3!4!}=1260, o que é a mesma coisa (multinomial).

Passo 4

Agora vamos contar os arranjos em que João e Pedro estão juntos (ou seja, na mesma barraca). Como as barracas têm capacidades diferentes, eles podem estar juntos na barraca de 2, ou na de 3, ou na de 4. Vou tratar cada caso separadamente e somar, porque esses três casos são mutuamente exclusivos (não dá para estar ao mesmo tempo na barraca de 2 e na de 3, por exemplo).

Passo 5

Caso A: João e Pedro juntos na barraca de 2.
Se os dois ocupam a barraca de 2, essa barraca fica totalmente determinada (é o par {João, Pedro}). Restam 7 pessoas para distribuir entre a barraca de 3 e a de 4. Escolhemos os 3 que vão para a barraca de 3: \displaystyle \binom{7}{3}. Portanto o número de arranjos neste caso é
\binom{7}{3}=35.

Passo 6

Caso B: João e Pedro juntos na barraca de 3.
Nesse caso a barraca de 3 terá João, Pedro e mais uma pessoa escolhida entre as 7 restantes: \displaystyle \binom{7}{1}=7 escolhas para esse terceiro ocupante. Depois restam 6 pessoas; precisamos escolher quem vai para a barraca de 2: \displaystyle \binom{6}{2}=15. O restante vai para a barraca de 4. Como são escolhas independentes em sequência, multiplicamos:
\binom{7}{1}\binom{6}{2}=7\cdot15=105.

Passo 7

Caso C: João e Pedro juntos na barraca de 4.
Aqui a barraca de 4 terá João, Pedro e mais duas pessoas escolhidas entre as 7 restantes: \displaystyle \binom{7}{2}=21. Depois sobram 5 pessoas; escolhemos 2 para a barraca de 2: \displaystyle \binom{5}{2}=10. O restante vai para a barraca de 3. Multiplicando:
\binom{7}{2}\binom{5}{2}=21\cdot10=210.

Passo 8

Somando os casos em que João e Pedro estão juntos (A+B+C):
35 + 105 + 210 = 350.
Esse é o número de arranjos proibidos (onde os dois estão na mesma barraca).

Passo 9

Aplicando o princípio do complemento: o número de arranjos em que João e Pedro não estão juntos é
\binom{9}{2}\binom{7}{3} - \bigl(35+105+210\bigr) = 1260 - 350.

Resposta

910

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