Um grupo de 9 pessoas, incluindo os irmãos João e Pedro, vai acampar. Eles vão se dividir em 3 barracas: uma para 2 pessoas, outra para 3 e a última para 4 pessoas. De quantos modos diferentes eles podem se organizar se João e Pedro não podem dormir na mesma barraca?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
- Temos
pessoas no total, entre as quais estão os irmãos João e Pedro. - Há
barracas com capacidades diferentes: uma de lugares, outra de lugares e outra de lugares. - Precisamos contar de quantos modos diferentes as
pessoas podem ser distribuídas nessas barracas, com a restrição de que João e Pedro não podem dormir na mesma barraca.
Observações explícitas que vou usar (assunções naturais): as pessoas são todas distintas (cada pessoa é um indivíduo diferente) e as barracas são distinguidas pelas suas capacidades (ou seja, a barraca de
é diferente da de
e da de
).
Passo 2
Estratégia geral (princípio do complemento): é mais fácil contar o total de arranjos sem restrição e então subtrair os arranjos onde João e Pedro estão juntos. Em símbolos:
Vou explicar e calcular cada parte com calma.
Passo 3
Contando o total de arranjos sem restrição.
Como as barracas têm tamanhos fixos e são distintas, um modo natural de contar é: escolher quem ocupa a barraca de
, depois quem ocupa a barraca de
entre os restantes, e o resto vai para a de
.
Como as barracas têm tamanhos fixos
A ferramenta que usamos aqui é a combinação:
(lê-se “
escolhe
”) é o número de maneiras de escolher
elementos distintos entre
, sem ordem. A fórmula é
onde
(fatorial) é o produto
.
Aplicando ao problema: primeiro escolhemos os
que vão para a barraca de
:
. Depois escolhemos os
entre os
restantes para a barraca de
:
. O resto (
pessoas) vai para a barraca de
.
Portanto o total sem restrição é
Calculemos os números:
e
. Multiplicando:
Também é possível ver isso como
, o que é a mesma coisa (multinomial).
Passo 4
Agora vamos contar os arranjos em que João e Pedro estão juntos (ou seja, na mesma barraca). Como as barracas têm capacidades diferentes, eles podem estar juntos na barraca de
, ou na de
, ou na de
. Vou tratar cada caso separadamente e somar, porque esses três casos são mutuamente exclusivos (não dá para estar ao mesmo tempo na barraca de
e na de
, por exemplo).
Passo 5
Caso A: João e Pedro juntos na barraca de
.
Se os dois ocupam a barraca de , essa barraca fica totalmente determinada (é o par {João, Pedro}). Restam
pessoas para distribuir entre a barraca de
e a de
. Escolhemos os
que vão para a barraca de
:
. Portanto o número de arranjos neste caso é
Se os dois ocupam a barraca de
Passo 6
Caso B: João e Pedro juntos na barraca de
.
Nesse caso a barraca de terá João, Pedro e mais uma pessoa escolhida entre as
restantes:
escolhas para esse terceiro ocupante. Depois restam
pessoas; precisamos escolher quem vai para a barraca de
:
. O restante vai para a barraca de
. Como são escolhas independentes em sequência, multiplicamos:
Nesse caso a barraca de
Passo 7
Caso C: João e Pedro juntos na barraca de
.
Aqui a barraca de terá João, Pedro e mais duas pessoas escolhidas entre as
restantes:
. Depois sobram
pessoas; escolhemos
para a barraca de
:
. O restante vai para a barraca de
. Multiplicando:
Aqui a barraca de
Passo 8
Somando os casos em que João e Pedro estão juntos (A+B+C):
Esse é o número de arranjos proibidos (onde os dois estão na mesma barraca).
Passo 9
Aplicando o princípio do complemento: o número de arranjos em que João e Pedro não estão juntos é
Resposta
910