(20%) Resolva a EDO usando série de potências em
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolvê-la usando série de potências em
. Ou seja, encontrar a solução geral expressa como série em torno de
(série de Maclaurin) e, se possível, reconhecer essa série em termos de funções conhecidas. Informações relevantes fornecidas:
- A EDO é linear, homogênea, de segunda ordem:
(rearranjada). - Não foram dados valores iniciais; então devemos obter a solução geral com duas constantes arbitrárias (que aparecerão como os dois primeiros coeficientes da série).
Passo 2
Assumimos a forma de série de potências centrada em
:
onde os
são constantes a determinar. Explico por que essa é uma hipótese válida: muitas soluções analíticas podem ser desenvolvidas em série em volta de um ponto regular (aqui
é regular), e esse método dá tanto os coeficientes quanto uma forma fechada quando a série for reconhecível.
Agora calculemos as derivadas termo a termo (isso é permitido dentro do raio de convergência):
Aqui fiz a mudança de índice na última igualdade para escrever tudo como soma em potências
, o que facilita comparar coeficientes.
Passo 3
Substituímos
e
na EDO
. Usando as séries que obtivemos:
Como duas séries em potências de
são iguais para todo
dentro do raio de convergência, os coeficientes de
devem ser iguais para todo
. Assim obtemos a relação de recorrência
Isolando
,
Passo 4
Observe que a recorrência relaciona coeficientes com diferença de índice
. Logo as sequências de coeficientes de índices pares e ímpares são independentes e determinadas por
e
, respectivamente. Vamos estudar cada sequência separadamente.
Para os índices pares: coloque
(com
):
Aplicando essa relação iteradamente, obtemos os primeiros termos:
Fica claro o padrão. Por indução (ou observando a alternância de sinais e fatoriais do denominador) obtemos a fórmula geral para
:
Passo 5
Agora a sequência ímpar: coloque
:
Iterando:
De modo semelhante obtemos, para
,
Passo 6
Agora reescrevemos a série
separando termos pares e ímpares:
Substituindo as fórmulas obtidas para
e
,
Passo 7
Reconhecemos as somas como as séries de Taylor conhecidas das funções trigonométricas:
ambas convergindo para todo
. Portanto a solução geral da EDO é
Passo 8
Interpretação final e comentários práticos para prova:
- Os coeficientes
e são exatamente e . Logo, se forem dadas condições iniciais, basta substituir esses valores. - O raio de convergência da série obtida é infinito (as séries de
e convergem para todo ), então a solução é válida para todo . - Em provas, ao usar séries de potências, é padrão: assumir
, calcular , igualar coeficientes, achar recorrência, separar pares e ímpares e reconhecer as somas. Relaxa: com prática fica automático.