(20%) Resolva a EDO usando série de potências em x :
y^{\prime \prime}=-y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'' = -y
e pede para resolvê-la usando série de potências em x. Ou seja, encontrar a solução geral expressa como série em torno de x=0 (série de Maclaurin) e, se possível, reconhecer essa série em termos de funções conhecidas. Informações relevantes fornecidas:
  • A EDO é linear, homogênea, de segunda ordem: y''+y=0 (rearranjada).
  • Não foram dados valores iniciais; então devemos obter a solução geral com duas constantes arbitrárias (que aparecerão como os dois primeiros coeficientes da série).

Passo 2

Assumimos a forma de série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Explico por que essa é uma hipótese válida: muitas soluções analíticas podem ser desenvolvidas em série em volta de um ponto regular (aqui x=0 é regular), e esse método dá tanto os coeficientes quanto uma forma fechada quando a série for reconhecível.
Agora calculemos as derivadas termo a termo (isso é permitido dentro do raio de convergência):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n,
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n.
Aqui fiz a mudança de índice na última igualdade para escrever tudo como soma em potências x^n, o que facilita comparar coeficientes.

Passo 3

Substituímos y e y'' na EDO y''=-y. Usando as séries que obtivemos:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n \;=\; -\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Como duas séries em potências de x são iguais para todo x dentro do raio de convergência, os coeficientes de x^n devem ser iguais para todo n\ge0. Assim obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1) a_{n+2} = -a_n,\qquad \text{para todo } n\ge0.
Isolando a_{n+2},
a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.

Passo 4

Observe que a recorrência relaciona coeficientes com diferença de índice 2. Logo as sequências de coeficientes de índices pares e ímpares são independentes e determinadas por a_0 e a_1, respectivamente. Vamos estudar cada sequência separadamente.
Para os índices pares: coloque n=2k (com k\ge0):
a_{2k+2} = -\frac{a_{2k}}{(2k+2)(2k+1)}.
Aplicando essa relação iteradamente, obtemos os primeiros termos:
a_2 = -\frac{a_0}{2\cdot1} = -\frac{a_0}{2!},\qquad a_4 = -\frac{a_2}{4\cdot3} = \frac{a_0}{4!},\qquad a_6 = -\frac{a_4}{6\cdot5} = -\frac{a_0}{6!},\\ \ldots
Fica claro o padrão. Por indução (ou observando a alternância de sinais e fatoriais do denominador) obtemos a fórmula geral para k\ge0:
a_{2k} = (-1)^k \frac{a_0}{(2k)!}.

Passo 5

Agora a sequência ímpar: coloque n=2k+1:
a_{2k+3} = -\frac{a_{2k+1}}{(2k+3)(2k+2)}.
Iterando:
a_3 = -\frac{a_1}{3\cdot2} = -\frac{a_1}{3!},\qquad a_5 = -\frac{a_3}{5\cdot4} = \frac{a_1}{5!},\\ \ldots
De modo semelhante obtemos, para k\ge0,
a_{2k+1} = (-1)^k \frac{a_1}{(2k+1)!}.

Passo 6

Agora reescrevemos a série y(x) separando termos pares e ímpares:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1}.
Substituindo as fórmulas obtidas para a_{2k} e a_{2k+1},
y(x)=a_0\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} \;+\; a_1\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 7

Reconhecemos as somas como as séries de Taylor conhecidas das funções trigonométricas:
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
ambas convergindo para todo x. Portanto a solução geral da EDO é
y(x)=a_0\cos x + a_1\sin x.

Passo 8

Interpretação final e comentários práticos para prova:
  • Os coeficientes a_0 e a_1 são exatamente a_0=y(0) e a_1=y'(0). Logo, se forem dadas condições iniciais, basta substituir esses valores.
  • O raio de convergência da série obtida é infinito (as séries de \sin e \cos convergem para todo x), então a solução é válida para todo x.
  • Em provas, ao usar séries de potências, é padrão: assumir y=\sum a_n x^n, calcular y'',y', igualar coeficientes, achar recorrência, separar pares e ímpares e reconhecer as somas. Relaxa: com prática fica automático.

Resposta

y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x

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