Calcule as integrais, para as regiões R indicadas.
\iint_{R} x \sqrt{1-x^{2}} d A; onde
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1 \text { e } 2 \leq y \leq 3\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x \sqrt{1-x^{2}}\,dA
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 1\\ \text{ e }\\\ 2\le y\le 3\}.
Informações dadas:
  • Os limites em x são 0 e 1.
  • Os limites em y são 2 e 3.
  • A função integranda é x\sqrt{1-x^{2}}, que não depende de y.
    O que é pedido: o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Estratégia (como fazer na prova):
  • Para integrais duplas sobre retângulos podemos usar a regra de Fubini e escrever a integral como integral iterada. Isto permite integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa.
  • Como a função x\sqrt{1-x^{2}} não depende de y, é muito conveniente integrar primeiro em y: a integral em y apenas multiplica a função por (\text{comprimento do intervalo em }y).
    Vou aplicar essa ideia: escrever
\iint_{R} x\sqrt{1-x^{2}}\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=2}^{3} x\sqrt{1-x^{2}}\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y.
Como x\sqrt{1-x^{2}} é constante em relação a y,
\int_{y=2}^{3} x\sqrt{1-x^{2}}\,dy = x\sqrt{1-x^{2}}\cdot\left(3-2\right) = x\sqrt{1-x^{2}}\cdot 1.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples em x:
\iint_{R} x\sqrt{1-x^{2}}\,dA = \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

Passo 4

Resolver a integral
\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Método apropriado: troca de variável (substituição) porque temos x\,dx multiplicando uma função de 1-x^{2}. A substituição padrão é:
u = 1-x^{2}.
Agora calculamos du em termos de dx: derivando, du = -2x\,dx, então
x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Também devemos trocar os limites de integração: quando x=0, u=1-0^{2}=1; quando x=1, u=1-1^{2}=0.

Passo 5

Aplicar a substituição na integral:
\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{0} \sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int_{1}^{0} u^{1/2}\,du.
Invertemos os limites (o que muda o sinal):
-\tfrac{1}{2}\int_{1}^{0} u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.
Agora integramos u^{1/2}: uma primitiva é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\cdot\left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}\left(1^{3/2}-0^{3/2}\right).

Passo 6

Simplificar o resultado:
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}\left(1-0\right)=\tfrac{1}{3}.
Portanto a integral dupla sobre R vale \tfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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