Calcule as integrais, para as regiões
indicadas.
; onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações dadas:
- Os limites em
são e . - Os limites em
são e . - A função integranda é
, que não depende de .
O que é pedido: o valor numérico da integral dupla sobre.
Passo 2
Estratégia (como fazer na prova):
- Para integrais duplas sobre retângulos podemos usar a regra de Fubini e escrever a integral como integral iterada. Isto permite integrar primeiro em
e depois em , ou vice-versa. - Como a função
não depende de , é muito conveniente integrar primeiro em : a integral em apenas multiplica a função por .
Vou aplicar essa ideia: escrever
Passo 3
Calcular a integral interna em
.
Como é constante em relação a
,
Como
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples em
:
Passo 4
Resolver a integral
Método apropriado: troca de variável (substituição) porque temos
multiplicando uma função de
. A substituição padrão é:
Agora calculamos
em termos de
: derivando,
, então
Também devemos trocar os limites de integração: quando
,
; quando
,
.
Passo 5
Aplicar a substituição na integral:
Invertemos os limites (o que muda o sinal):
Agora integramos
: uma primitiva é
. Assim
Passo 6
Simplificar o resultado:
Portanto a integral dupla sobre
vale
.