Determine a solução geral Real de cada EDO:
(e) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-64 y=16 \\\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma EDO linear de segunda ordem com condições iniciais. Lista do que temos e do que é pedido:
  • Equação diferencial: \;y^{\prime\prime}-64y=16\.
  • Condições iniciais: \;y(0)=1 e \;y^{\prime}(0)=0.
    O que se pede: encontrar a solução real que satisfaz a equação e as condições iniciais (solução do problema de valor inicial).

Passo 2

Forma padrão e escolha do método. Primeiro escrevo a EDO em forma padrão (já está):
y^{\prime\prime}-64y=16.
É uma EDO linear de coeficientes constantes, não homogênea (termo à direita é 16). O método natural aqui é:
  • resolver a EDO homogênea associada para obter a solução complementar y_h;
  • encontrar uma solução particular y_p da EDO completa (método dos coeficientes indeterminados, porque o segundo membro é uma constante);
  • somar y=y_h+y_p e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.
    Vou seguir esse plano passo a passo.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y^{\prime\prime}-64y=0.
Procuramos soluções da forma \;y=e^{rx}, onde r é uma constante (essa é a ideia: exponenciais transformam derivadas em múltiplos da função). Substituindo na homogênea obtemos a equação característica.

Passo 4

Equação característica e raízes. Substituindo \;y=e^{rx} na homogênea:
r^2-64=0.
Resolvo a equação:
r^2=64 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 8.
Como as raízes são reais distintas ( r_1=8,\; r_2=-8), a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas.

Passo 5

Escrever a solução homogênea. Pela teoria, como as raízes são \pm 8,
y_h(x)=C_1 e^{8x}+C_2 e^{-8x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Encontrar uma solução particular y_p. O segundo membro é a constante 16. Para uma força constante, uma boa tentativa é buscar y_p constante: suponha \;y_p(x)=A com A constante. Então \;y_p^{\prime\prime}=0. Substituo na equação:
0-64A=16 \quad\Rightarrow\quad -64A=16.
Resolvo para A:
A=-\dfrac{16}{64}=-\dfrac{1}{4}.
Portanto uma solução particular é y_p(x)=-\dfrac{1}{4}.

Passo 7

Solução geral da EDO não homogênea. Soma das partes:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{8x}+C_2 e^{-8x}-\dfrac{1}{4}.
Agora aplico as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 8

Aplicar y(0)=1. Substituo x=0 em y(x):
y(0)=C_1 + C_2 -\dfrac{1}{4}=1.
Logo
C_1 + C_2 = 1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}.

Passo 9

Aplicar y^{\prime}(0)=0. Primeiro calculo a derivada geral:
y^{\prime}(x)=8C_1 e^{8x}-8C_2 e^{-8x}.
Em x=0:
y^{\prime}(0)=8C_1 -8C_2=0 \quad\Rightarrow\quad 8(C_1-C_2)=0.
Logo
C_1=C_2.
Combinando com C_1+C_2=\dfrac{5}{4} temos
2C_1=\dfrac{5}{4}\quad\Rightarrow\quad C_1=\dfrac{5}{8}.
E como C_2=C_1,
C_2=\dfrac{5}{8}.

Passo 10

Escrever a solução particularizada final e uma forma alternativa mais compacta. Substituindo as constantes em y(x):
y(x)=\dfrac{5}{8}e^{8x}+\dfrac{5}{8}e^{-8x}-\dfrac{1}{4}.
Usando a identidade hiperbólica \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{2}, podemos reescrever:
y(x)=\dfrac{5}{4}\operatorname{cosh}(8x)-\dfrac{1}{4}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é mais compacta e muitas vezes mais agradável visualmente.

Resposta

\displaystyle y(x)=\dfrac{5}{8}e^{8x}+\dfrac{5}{8}e^{-8x}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\operatorname{cosh}(8x)-\dfrac{1}{4}

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