Determine a solução geral Real de cada EDO:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá uma EDO linear de segunda ordem com condições iniciais. Lista do que temos e do que é pedido:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
e .
O que se pede: encontrar a solução real que satisfaz a equação e as condições iniciais (solução do problema de valor inicial).
Passo 2
Forma padrão e escolha do método. Primeiro escrevo a EDO em forma padrão (já está):
É uma EDO linear de coeficientes constantes, não homogênea (termo à direita é
). O método natural aqui é:
- resolver a EDO homogênea associada para obter a solução complementar
; - encontrar uma solução particular
da EDO completa (método dos coeficientes indeterminados, porque o segundo membro é uma constante); - somar
e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.
Vou seguir esse plano passo a passo.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
Procuramos soluções da forma
, onde
é uma constante (essa é a ideia: exponenciais transformam derivadas em múltiplos da função). Substituindo na homogênea obtemos a equação característica.
Passo 4
Equação característica e raízes. Substituindo
na homogênea:
Resolvo a equação:
Como as raízes são reais distintas (
), a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas.
Passo 5
Escrever a solução homogênea. Pela teoria, como as raízes são
,
onde
e
são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Encontrar uma solução particular
. O segundo membro é a constante
. Para uma força constante, uma boa tentativa é buscar
constante: suponha
com
constante. Então
. Substituo na equação:
Resolvo para
:
Portanto uma solução particular é
.
Passo 7
Solução geral da EDO não homogênea. Soma das partes:
Agora aplico as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 8
Aplicar
. Substituo
em
:
Logo
Passo 9
Aplicar
. Primeiro calculo a derivada geral:
Em
:
Logo
Combinando com
temos
E como
,
Passo 10
Escrever a solução particularizada final e uma forma alternativa mais compacta. Substituindo as constantes em
:
Usando a identidade hiperbólica
, podemos reescrever:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é mais compacta e muitas vezes mais agradável visualmente.