Duas patinadoras de massas
e
, respectivamente, estão em pé em uma pista de gelo, segurando um bastão de comprimento
e massa desprezível. Partindo das extremidades do bastão, as patinadoras puxam-se até se encontrarem. Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras
ou falsas
.
As duas patinadoras deslocam-se com a mesma velocidade.
(
) A aceleração do centro de massa do sistema composto pelas duas patinadoras é nula.
○ centro de massa do sistema formado pelas duas patinadoras desloca-se quando as patinadoras se deslocam.
Escolha uma opção:
◯ a. F, V, F
◯ b. V, F, F
◯ c. F, F, F
◯ d.
◯ e. V, V, F
(
◯ a. F, V, F
◯ b. V, F, F
◯ c. F, F, F
◯ d.
◯ e. V, V, F
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do texto do problema):
- Duas patinadoras em pé sobre gelo (superfície sem atrito) seguram um bastão de comprimento
e massa desprezível. - As massas das patinadoras são
e , respectivamente. - Elas partem das extremidades do bastão e puxam-se até se encontrarem (ou seja, começam em repouso e, por forças internas, movem-se uma em direção à outra).
O que é pedido: identificar se cada uma das três afirmativas é verdadeira
ou falsa
:
- As duas patinadoras deslocam-se com a mesma velocidade.
- A aceleração do centro de massa do sistema composto pelas duas patinadoras é nula.
- O centro de massa do sistema formado pelas duas patinadoras desloca-se quando as patinadoras se deslocam.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicadas com calma):
- Centro de massa (em uma dimensão, ao longo da direção do movimento):
onde são as massas e as posições (variáveis). - Aqui cada símbolo:
é a posição do centro de massa, as massas e as coordenadas das patinadoras.
- Aqui cada símbolo:
- Velocidade do centro de massa:
onde são as velocidades das patinadoras. - Segunda fórmula importante (física básica): a aceleração do centro de massa é dada pela resultante das forças externas dividida pela massa total:
- Isso significa que, se não houver força externa resultante horizontal (situação típica numa pista de gelo sem atrito), então
.
- Isso significa que, se não houver força externa resultante horizontal (situação típica numa pista de gelo sem atrito), então
- Conservação do momento linear: para um sistema isolado (sem força externa resultante), o momento total
é constante no tempo.
Vou aplicar essas ideias ao problema passo a passo.
Passo 3
Determinar se as velocidades das patinadoras são iguais (afirmativa 1).
Partindo do que temos: inicialmente elas estão em repouso, então a velocidade inicial do centro de massa é
. Como não há forças externas horizontais (gelo sem atrito), o momento total se conserva e
permanece constante e igual a zero durante todo o processo. Logo, para qualquer instante vale:
Substituindo
e
:
Dividindo por
:
Isto mostra que as velocidades não têm a mesma magnitude: o módulo da velocidade da patinadora de massa
é metade do da patinadora de massa
. Portanto a afirmativa 1 “As duas patinadoras deslocam-se com a mesma velocidade” é falsa.
Explicação em palavras: para que o momento total permaneça zero, a patinadora mais leve precisa mover-se com velocidade maior (em módulo) para compensar a patinadora mais pesada. Não espere velocidades iguais quando as massas são diferentes.
Passo 4
Analisar a aceleração do centro de massa (afirmativa 2).
Pelo que vimos acima, a aceleração do centro de massa é
No problema, as forças responsáveis pelo movimento são internas ao sistema (cada patinadora puxa a outra pelo bastão). Em presença de gelo sem atrito e sem outras forças externas horizontais, a soma das forças externas horizontais é zero, então
. Portanto
Isto significa que a aceleração do centro de massa do sistema é nula — a afirmativa 2 é verdadeira.
Dica física: mesmo que as patinadoras se movam internamente, o centro de massa de um sistema isolado não acelera se não houver força externa resultante.
Passo 5
Ver se o centro de massa se desloca quando as patinadoras se deslocam (afirmativa 3).
Já estabelecemos que
e que
. Se velocidade do centro de massa é zero e sua aceleração é zero durante o processo, a posição do centro de massa permanece constante no tempo:
Logo o centro de massa não se desloca enquanto as patinadoras se deslocam entre si. Portanto a afirmativa 3 “o centro de massa … desloca-se quando as patinadoras se deslocam” é falsa.
Intuição: embora as posições individuais mudem, o ponto médio ponderado pelas massas (o centro de massa) fica parado porque os movimentos internos são equilibrados para manter o momento total constante.
Resposta
a.