Duas patinadoras de massas M e 2 M, respectivamente, estão em pé em uma pista de gelo, segurando um bastão de comprimento L e massa desprezível. Partindo das extremidades do bastão, as patinadoras puxam-se até se encontrarem. Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
(V, F) As duas patinadoras deslocam-se com a mesma velocidade.
( V, F ) A aceleração do centro de massa do sistema composto pelas duas patinadoras é nula.
(V, F) ○ centro de massa do sistema formado pelas duas patinadoras desloca-se quando as patinadoras se deslocam.
Escolha uma opção:
◯ a. F, V, F
◯ b. V, F, F
◯ c. F, F, F
◯ d. V, F, V
◯ e. V, V, F

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do texto do problema):
  • Duas patinadoras em pé sobre gelo (superfície sem atrito) seguram um bastão de comprimento L e massa desprezível.
  • As massas das patinadoras são \,M e \,2M, respectivamente.
  • Elas partem das extremidades do bastão e puxam-se até se encontrarem (ou seja, começam em repouso e, por forças internas, movem-se uma em direção à outra).
O que é pedido: identificar se cada uma das três afirmativas é verdadeira (V) ou falsa (F):
  1. As duas patinadoras deslocam-se com a mesma velocidade.
  2. A aceleração do centro de massa do sistema composto pelas duas patinadoras é nula.
  3. O centro de massa do sistema formado pelas duas patinadoras desloca-se quando as patinadoras se deslocam.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadas com calma):
  • Centro de massa (em uma dimensão, ao longo da direção do movimento): X_{cm}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}, onde m_1,m_2 são as massas e x_1,x_2 as posições (variáveis).
    • Aqui cada símbolo: X_{cm} é a posição do centro de massa, m_i as massas e x_i as coordenadas das patinadoras.
  • Velocidade do centro de massa: V_{cm}=\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}, onde v_1,v_2 são as velocidades das patinadoras.
  • Segunda fórmula importante (física básica): a aceleração do centro de massa é dada pela resultante das forças externas dividida pela massa total: a_{cm}=\frac{\sum F_{\text{ext}}}{m_1+m_2}.
    • Isso significa que, se não houver força externa resultante horizontal (situação típica numa pista de gelo sem atrito), então a_{cm}=0.
  • Conservação do momento linear: para um sistema isolado (sem força externa resultante), o momento total (p=m_1 v_1 + m_2 v_2) é constante no tempo.
Vou aplicar essas ideias ao problema passo a passo.

Passo 3

Determinar se as velocidades das patinadoras são iguais (afirmativa 1).
Partindo do que temos: inicialmente elas estão em repouso, então a velocidade inicial do centro de massa é \,V_{cm}(0)=0. Como não há forças externas horizontais (gelo sem atrito), o momento total se conserva e V_{cm} permanece constante e igual a zero durante todo o processo. Logo, para qualquer instante vale: m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)V_{cm}=0.
Substituindo m_1=M e m_2=2M: M v_1 + 2M v_2 = 0.
Dividindo por M: v_1 + 2 v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2 = -\frac{v_1}{2}.
Isto mostra que as velocidades não têm a mesma magnitude: o módulo da velocidade da patinadora de massa 2M é metade do da patinadora de massa M. Portanto a afirmativa 1 “As duas patinadoras deslocam-se com a mesma velocidade” é falsa.
Explicação em palavras: para que o momento total permaneça zero, a patinadora mais leve precisa mover-se com velocidade maior (em módulo) para compensar a patinadora mais pesada. Não espere velocidades iguais quando as massas são diferentes.

Passo 4

Analisar a aceleração do centro de massa (afirmativa 2).
Pelo que vimos acima, a aceleração do centro de massa é a_{cm}=\frac{\sum F_{\text{ext}}}{m_1+m_2}.
No problema, as forças responsáveis pelo movimento são internas ao sistema (cada patinadora puxa a outra pelo bastão). Em presença de gelo sem atrito e sem outras forças externas horizontais, a soma das forças externas horizontais é zero, então \sum F_{\text{ext}}=0. Portanto a_{cm}=0.
Isto significa que a aceleração do centro de massa do sistema é nula — a afirmativa 2 é verdadeira.
Dica física: mesmo que as patinadoras se movam internamente, o centro de massa de um sistema isolado não acelera se não houver força externa resultante.

Passo 5

Ver se o centro de massa se desloca quando as patinadoras se deslocam (afirmativa 3).
Já estabelecemos que V_{cm}(0)=0 e que a_{cm}=0. Se velocidade do centro de massa é zero e sua aceleração é zero durante o processo, a posição do centro de massa permanece constante no tempo: X_{cm}(t)=\text{constante}.
Logo o centro de massa não se desloca enquanto as patinadoras se deslocam entre si. Portanto a afirmativa 3 “o centro de massa … desloca-se quando as patinadoras se deslocam” é falsa.
Intuição: embora as posições individuais mudem, o ponto médio ponderado pelas massas (o centro de massa) fica parado porque os movimentos internos são equilibrados para manter o momento total constante.

Resposta

a. F, V, F

Exercícios relacionados