[20] 4. Seja f a funçäo definida por
f(x)=xx^2-5 x+6
Encontre as assintotas verticais do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais do gráfico da função $ f(x) = \frac{x}{x^{2} - 5x + 6} $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente sobre frações racionais e suas undefined.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são assíntotas verticais. Elas acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é igual a zero, mas o numerador não é. Então, nosso primeiro passo é encontrar os valores de $ x $ que fazem o denominador $ x^{2} - 5x + 6 $ ser igual a zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação do denominador:
x^2 - 5x + 6 = 0
Essa é uma equação quadrática, e podemos fatorá-la para facilitar. Procuramos dois números que multiplicados dão $ 6 $ e somados dão $ -5 $. Esses números são $ -2 $ e $ -3 $.

Passo 4

Fatorando a equação:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de $ x $:
x
x - 2 = 0 Rightarrow x = 2

Passo 5

Encontramos que $ x = 2 $ e $ x = 3 $ tornam o denominador zero. Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos. O numerador é $ x $, então:
x = 2
x = 3
Como o numerador não é zero em nenhum desses pontos, ambos são assíntotas verticais.

Resposta

As assíntotas verticais do gráfico de $ f(x) $ são as retas $ x = 2 $ e $ x = 3 $.

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