Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F na partícula que se move ao longo da curva C.
l F(x, y, z)=x y i+y z j+x z k C: r(t)=t i+t^2 j+t^3 k (0 <= t <= 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças F(x,y,z)=xy,i+yz,j+xz,k ao longo da curva C dada por r(t)=t,i+t^2,j+t^3,k para 0<= t<=1. Isso é um caso de integral de linha tipo integralCFcdot dr. Para resolver, a gente vai parametrizar a curva, calcular r'(t), avaliar F(r(t)), montar o produto escalar F(r(t))cdotr'(t) e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, derivamos a parametrização da curva. Como r(t)=t,i+t^2,j+t^3,k, temos:
$\mathbf{r}

Passo 3

Em seguida, substituímos x=t, y=t^2, z=t^3 em F(x,y,z) para obter F(r(t)):
F(r(t))=tcdot t^2,i+t^2cdot t^3,j+tcdot t^3,k=t^3,i+t^5,j+t^4,k

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar F(r(t))cdotr'(t):
F(r(t))cdotr'(t)=t^3cdot1+t^5cdot(2t)+t^4cdot(3t^2)=t^3+2t^6+3t^6=t^3+5t^6

Passo 5

Por fim, integramos de t=0 a t=1 para obter o trabalho:
W=integral0^1l(t^3+5t^6r),dt=[t^44+5t^77]0^1=14+57=2728

Resposta

2728

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