Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja e que seja perpendicular à direção do vetor eta dado.
(a) (1,1,1) e eta=(2,1,3);
(b) (2,1,-1) e eta=(-2,1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa por um ponto dado e cujo vetor normal é o vetor direção eta. O tema é equação de plano em R^3, usando produto escalar e vetor normal.
A teoria que vamos aplicar é: se um plano tem vetor normal vec n e passa pelo ponto P0(x0,y0,z0), então todo ponto (x,y,z) do plano satisfaz
(x-x0,y-y0,z-z0)cdotvec n = 0,
pois o vetor (x-x0,y-y0,z-z0) fica ortogonal a vec n.

Passo 2

Para o item (a), temos P0=(1,1,1) e vec n=eta=(2,1,3). Substituindo na fórmula:
2(x-1)+1(y-1)+3(z-1)=0,
que simplifica para
2x+y+3z-6=0

Passo 3

Para o item (b), temos P0=(2,1,-1) e vec n=eta=(-2,1,2). Substituindo:
-2(x-2)+1(y-1)+2(z+1)=0,
que simplifica para
-2x+y+2z+5=0

Resposta

(a) 2x+y+3z-6=0
(b) -2x+y+2z+5=0

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