O valor médio de uma função f(x, y) sobre uma curva C é definido como
m(f ; C)=1l(C) integralC f(x, y) d s
onde l(C)= comprimento da curva C.
Calcule o valor médio da função f(x, y)=x^2 y ao longo da curva (x-1)^2+y^2=9, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o valor médio da função $ f(x, y) = x^{2} y $ ao longo de uma curva $ C $, que é metade de um círculo definido por $ (x-1)^{2} + y^{2} = 9 $ com $ y \geq 0 $. Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função sobre uma curva:
f(x, y) = x^2 y
Aqui, $ l© $ é o comprimento da curva $ C $. Vamos precisar calcular o comprimento da curva e a integral da função $ f(x, y) $ ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o que é a curva $ C $. A equação $ (x-1)^{2} + y^{2} = 9 $ representa um círculo com raio 3 (porque $ \sqrt{9} = 3 $) e centrado no ponto $ (1, 0) $. Como temos $ y \geq 0 $, estamos falando da metade de cima desse círculo, ou seja, um semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento da curva $ C $, que é o semicírculo. O comprimento de um círculo completo é $ 2\pi r $, então para um semicírculo, o comprimento $ l© $ será metade disso:
C

Passo 4

Vamos parametrizar a curva $ C $ para facilitar o cálculo da integral. Como é um semicírculo com raio 3 e centro em $ (1, 0) $, podemos usar a seguinte parametrização em termos do ângulo $ \theta $:
C
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $ para percorrer todo o semicírculo.

Passo 5

Com essa parametrização, o diferencial de arco $ ds $ é dado por:
ds
Agora, vamos reescrever a função $ f(x, y) $ em termos de $ \theta $:
ds = 3, dtheta

Passo 6

Substituindo tudo na integral para calcular $ m(f ; C) $:
m(f ; C)
Simplificando os constantes:
m(f ; C) = 13pi integral0^pi (1 + 3costheta)^2 times 3sintheta times 3, dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral $ \int_{0}^{\pi} (1 + 3\cos\theta)^{2} \sin\theta, d\theta $. Para isso, fazemos uma substituição:
integral0^pi (1 + 3costheta)^2 sintheta, dtheta
Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 + 3(1) = 4 $ e quando $ \theta = \pi $, $ u = 1 + 3(-1) = -2 $.

Passo 8

Substituindo na integral:
integral0^pi (1 + 3costheta)^2 sintheta, dtheta = -13 integral4^-2 u^2, du = 13 integral-2^4 u^2, du
Calculando a integral:
13 [ u^33 ]-2^4 = 19 [ 4^3 - (-2)^3 ] = 19 (64 + 8) = 729 = 8

Passo 9

Agora, voltando ao cálculo do valor médio:
m(f ; C) = 9pi times 8 = 72pi

Resposta

O valor médio da função $ f(x, y) = x^{2} y $ ao longo da curva $ C $ é:
f(x, y) = x^2 y

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