O valor médio de uma função
sobre uma curva
é definido como
onde
comprimento da curva
.
Calcule o valor médio da função
ao longo da curva
.
Calcule o valor médio da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o valor médio da função $ f(x, y) = x^{2} y $ ao longo de uma curva $ C $, que é metade de um círculo definido por $ (x-1)^{2} + y^{2} = 9 $ com $ y \geq 0 $. Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função sobre uma curva:
Aqui, $ l© $ é o comprimento da curva $ C $. Vamos precisar calcular o comprimento da curva e a integral da função $ f(x, y) $ ao longo dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o que é a curva $ C $. A equação $ (x-1)^{2} + y^{2} = 9 $ representa um círculo com raio 3 (porque $ \sqrt{9} = 3 $) e centrado no ponto $ (1, 0) $. Como temos $ y \geq 0 $, estamos falando da metade de cima desse círculo, ou seja, um semicírculo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento da curva $ C $, que é o semicírculo. O comprimento de um círculo completo é $ 2\pi r $, então para um semicírculo, o comprimento $ l© $ será metade disso:
Passo 4
Vamos parametrizar a curva $ C $ para facilitar o cálculo da integral. Como é um semicírculo com raio 3 e centro em $ (1, 0) $, podemos usar a seguinte parametrização em termos do ângulo $ \theta $:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $ para percorrer todo o semicírculo.
Passo 5
Com essa parametrização, o diferencial de arco $ ds $ é dado por:
Agora, vamos reescrever a função $ f(x, y) $ em termos de $ \theta $:
Passo 6
Substituindo tudo na integral para calcular $ m(f ; C) $:
Simplificando os constantes:
Passo 7
Vamos resolver a integral $ \int_{0}^{\pi} (1 + 3\cos\theta)^{2} \sin\theta, d\theta $. Para isso, fazemos uma substituição:
Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 + 3(1) = 4 $ e quando $ \theta = \pi $, $ u = 1 + 3(-1) = -2 $.
Passo 8
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Passo 9
Agora, voltando ao cálculo do valor médio:
Resposta
O valor médio da função $ f(x, y) = x^{2} y $ ao longo da curva $ C $ é: