7- A matriz \left[\begin{array}{rr}4 & 1 \\\\ 0 & -3\end{array}\right] é uma combinação linear das matrizes \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] ?
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 1\\[6pt]0 & -3\end{pmatrix}
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad E = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Este é um problema de espaço vetorial de matrizes 2\times2: basta tentar achar escalares \alpha e \beta tais que
\alpha I + \beta E = A.]

Passo 2

Escrevendo a combinação
\alpha I + \beta E = \alpha\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha+\beta & 0\\[3pt]0 & \alpha\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para que isso seja igual a A devemos ter
\begin{pmatrix}\alpha+\beta & 0\\[3pt]0 & \alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\[3pt]0 & -3\end{pmatrix}.
Comparando entradas:
\alpha + \beta = 4, \quad 0 = 1, \quad \alpha = -3.
Mas a condição 0=1 é impossível, logo não existem \alpha,\beta que satisfaçam todas as igualdades.]

Resposta

Não. Não é possível expressar A como combinação linear de I e E, pois a posição (1,2) da combinação sempre seria zero, jamais igual a 1.

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