1.20 Um sistema linear de tempo contínuo S com entrada x(t) e saída y(t) possui os seguintes pares entrada-saída:
\begin{aligned} & x(t)=e^{j 2 t} \xrightarrow{s} y(t)=e^{j 3 t}, \\\ & x(t)=e^{-j 2 t} \xrightarrow{s} y(t)=e^{-j 3 t} . \end{aligned}
(a) Se x_{1}(t)=\cos (2 t), determine a saída correspondente y_{1}(t) para o sistema S.
(b) Se x_{2}(t)=\cos \left(2\left(t-\frac{1}{2}\right)\right), determine a saída correspondente y_{2}(t) para o sistema S.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema linear e invariante no tempo S que mapeia
x(t)=e^{j2t}\xrightarrow{S}y(t)=e^{j3t}, \quad x(t)=e^{-j2t}\xrightarrow{S}y(t)=e^{-j3t}.
Precisamos usar superposição e invariança em tempo para achar a resposta a sinais reais em cosseno.

Passo 2

Como o sistema é linear, a resposta a uma soma de complexos é a soma das respostas; e como é invariante no tempo, se multiplicarmos o sinal de entrada por uma constante complexa, a saída é a mesma constante vezes a saída original.

Passo 3

Para (a), temos
x_1(t)=\cos(2t) =\frac{1}{2}\bigl(e^{j2t}+e^{-j2t}\bigr).
Aplicando superposição, a saída será
y_1(t) =\frac{1}{2}\bigl(e^{j3t}+e^{-j3t}\bigr) =\cos(3t).

Passo 4

Para (b), observe
x_2(t)=\cos\bigl(2(t-\tfrac12)\bigr) =\cos(2t-1) =\frac{1}{2}\bigl(e^{j(2t-1)}+e^{-j(2t-1)}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(e^{-j1}e^{j2t}+e^{j1}e^{-j2t}\bigr).
Cada termo escala a saída correspondente:
e^{-j1}e^{j2t}\xrightarrow{S}e^{-j1}e^{j3t}, \quad e^{j1}e^{-j2t}\xrightarrow{S}e^{j1}e^{-j3t}.
Logo
y_2(t) =\frac{1}{2}\bigl(e^{-j1}e^{j3t}+e^{j1}e^{-j3t}\bigr) =\cos(3t-1).

Resposta

(a) y_1(t)=\cos(3t)
(b) y_2(t)=\cos(3t-1)

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