Determine se os sinais de tempo discreto a seguir são periódicos. Se o sinal for periódico, determine seu período fundamental.
x[n]=\cos \left(\frac{\pi}{8} n^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal discreto
x[n] = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}n^2\bigr)
e pede para verificar se ele é periódico e, em caso afirmativo, determinar o período fundamental. O conteúdo envolvido é a definição de periodicidade em tempo discreto: existe N>0 inteiro tal que
x[n+N] = x[n]\quad\forall n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Calculemos o sinal deslocado por N:
x[n+N] = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{8}(n+N)^2\Bigr) = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigl(n^2 +2nN + N^2\bigr)\Bigr).
A diferença de fase entre x[n+N] e x[n] é
\Delta\varphi(n) = \tfrac{\pi}{8}\bigl((n+N)^2 - n^2\bigr) = \tfrac{\pi}{8}(2nN + N^2) = \tfrac{\pi}{4}N\,n \;+\; \tfrac{\pi}{8}N^2.

Passo 3

Para que x[n+N]=x[n] valha para todo n, precisamos de
\Delta\varphi(n) = 2\pi\,m(n),
onde m(n) deve ser inteiro para todo n. Assim, o coeficiente de n em \Delta\varphi(n) deve ser múltiplo de 2\pi:
\tfrac{\pi}{4}N = 2\pi\,a \quad\Longrightarrow\quad N = 8\,a,
com a\in\mathbb{Z}. Para N=8a, a parte constante também é múltipla de 2\pi:
\tfrac{\pi}{8}N^2 = \tfrac{\pi}{8}(64a^2) = 8\pi\,a^2 = 2\pi\,(4a^2),
logo inteira.

Passo 4

O menor valor positivo de N que satisfaz N=8a é N=8 (tomando a=1). Portanto o sinal é periódico e seu período fundamental é
N_0 = 8.

Resposta

O sinal é periódico em tempo discreto, com período fundamental N_0 = 8.

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