(3.20) Um tubo capilar mergulha em um líquido com as seguintes características: A densidade a 25^circ C é 900 kg cdot m^-3 e a 125^circ C é 800 kg cdot m^-3; a tensão superficial a 25^circ C é de 12 mN cdot m^-1 e a massa molar é 20 g cdot mol^-1; a temperatura crítica é de 225^circ C. Na temperatura de 25^circ C o líquido ascende até uma altura h no interior do capilar. Aquecendo o líquido e o capilar até 125^circ C, verifica-se que a ascensão ocorre apenas até 1 / 2 de h. Determine a relação entre o raio do capilar a 125^circ C e a 25^circ C.

Passo 1

O enunciado trata da ascensão capilar de um líquido que, a 25^circC, tem densidade rho1=900;kg/m^3 e tensão superficial sigma1=12;mN/m, e que, a 125^circC, tem densidade rho2=800;kg/m^3. Sabe-se também que a temperatura crítica é Tc=225^circC e a massa molar é M=20;g/mol. A ascensão capilar obedece à fórmula
h=2,sigmarho,g,r,,
onde r é o raio interno do capilar. Vamos usar a lei de Eötvös para relacionar sigma com T, calcular sigma2 e depois exigir que h2 = tfrac12,h1 para achar tfracr2r1.

Passo 2

Pela lei de Eötvös, vale
sigma,Vm^2/3=k,(Tc - T)
onde Vm=M/rho é o volume molar. Para T1=25^circC ( 298 K) temos
Vm1=Mrho1=0,02900=2,222times10^-5;m^3/mol
e, como sigma1=12times10^-3;N/m,
k=sigma1,Vm1^2/3Tc-T1 =12times10^-3,l(2,222times10^-5r)^2/3200 approx4,74times10^-8;(SI)

Passo 3

Para T2=125^circC ( 398 K) calculamos
Vm2=0,02800=2,50times10^-5;m^3/mol,
de onde
sigma2 =k,(Tc-T2)Vm2^2/3 =4,74times10^-8times100l(2,50times10^-5r)^2/3 approx5,54times10^-3;N/m

Passo 4

Da fórmula da ascensão capilar, temos
h1=2,sigma1rho1,g,r1, h2=2,sigma2rho2,g,r2
Como h2=tfrac12,h1, segue
2,sigma2rho2,g,r2 =12;2,sigma1rho1,g,r1 ;Longrightarrow; r2r1 =2,sigma2,rho1sigma1,rho2

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
r2r1 =2;(5,54times10^-3)(900)(12times10^-3)(800) approx1,04

Resposta

r125^circCr25^circCapprox1,04

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