(20%) Uma tubulação apresenta diâmetro de 50 mm em ferro fundido com leve oxidação (varepsilon=0,3 mm). A viscosidade cinemática é igual a10 ^-6 m^2 / s. Determine a vazão transportada usando a equação universal de perda de carga.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma tubulação de diâmetro D = 50 mm (ferro fundido com oxidação, rugosidade ε = 0,3 mm) e a viscosidade cinemática do fluido ν = 1×10⁻⁶ m²/s. O conteúdo aqui é escoamento interno em regime turbulento e cálculo de perda de carga pela equação universal (Darcy–Weisbach + fórmula de Colebrook).
Para achar a vazão Q precisamos ainda saber a carga disponível (Δh) e o comprimento da tubulação (L) – ou então a declividade hidráulica J=Δh/L. Só com esses dados a gente fecha o cálculo.

Passo 2

Primeiro converte tudo para metro:
D = 50 mm = 0,050 m
ε = 0,3 mm = 0,00030 m
ν = 1×10⁻⁶ m²/s
g = 9,81 m/s²

Passo 3

A perda de carga unitária pela fórmula de Darcy–Weisbach é
J ;=;De
onde V é a velocidade média e f o fator de atrito, que vem da equação implícita de Colebrook–White:
1raiz f = -2,log10!gl(varepsilon/D3,7 ;+;2,51Re,raiz fgr)
e
Re = V,Dnu,

Passo 4

Repara que Q = A·V, com A = πD²/4. A gente precisa isolar V em função de f e J:
V = raiz2g,J,Df,
Então
Q = A,V = pi D^24,raiz2g,J,Df,

Passo 5

O valor de f vem de resolver a Colebrook de forma iterativa (ou usar uma fórmula explícita tipo Swamee–Jain). O esquema geral:
  1. Chute um f₀.
  2. Calcule V₀ = √(2gJD/f₀).
  3. Calcule Re₀ = V₀D/ν.
  4. Reajuste f a partir de Colebrook.
  5. Itere até convergir.

Resposta

Expressão geral da vazão em função da declividade hidráulica J e do fator de atrito f:
boxedQ ;=;pi D^24,raiz2g,J,Df
onde
  • é obtido pela equação de Colebrook–White,
  • é a perda de carga por metro.

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