Um cilindro de cerâmica com 25 cm de comprimento e 3 cm de diâmetro, encontra-se inicialmente com 35 % de umidade (b.u.) uniformemente distribuída no seu interior. A partir de um dado tempo, a peça é exposta a uma corrente de ar isento de umidade a 40^circ C. A difusividade efetiva da umidade na cerâmica é 1,5 times 10^-8 m^2 / s. Estime o tempo que a peça deve ser mantida em contato com a corrente de ar para garantir que a umidade não seja superior a 3 % em nenhuma posição do cilindro.

Passo 1

Resumo da questão: temos um cilindro de cerâmica (comprimento 25 cm, diâmetro 3 cm) com umidade inicial uniforme de 35 % (b.u.) exposto a ar seco a 40 °C. Queremos saber quanto tempo leva para todo o cilindro chegar a no máximo 3 % de umidade.
Conteúdo: difusão de massa (Lei de Fick), resolução de PDE em coordenadas cilíndricas, aproximação de um termo (primeira pulsação de Bessel). Vamos precisar da solucão aproximada para difusão em cilindro com contorno a umidade zero na superfície e da raiz alpha1 da função de Bessel J0.

Passo 2

Teoria aplicada:
  1. A umidade M(r,t) obedece à Lei de Fick (segunda lei):
partial Mpartial t=Drm eff,nabla^2 M(em coordenadas cilíndricas)í
2) Condições de contorno e iniciais:
- M(r,0)=M0=0,35 (b.u.) em todo o raio;
- M(R,t)=0 para t>0 (ar sem umidade);
- simetria no centro ( r=0).
3) A solução por separação de variáveis gera uma série em funções de Bessel. Usando só o primeiro termo (one‐term approximation) obtemos, no centro do cilindro ( r=0):
M(0,t)-MinftyM0-Minfty=C1exp!(-alpha1^2,Drm effR^2,t)
onde
  • Minfty=0 (equilíbrio com ar seco),
  • alpha1=2,405 (primeira raiz de J0(alpha)=0),
  • C1=dfrac2alpha1,J1(alpha1)approx1,594, com J1 primeira ordem de Bessel.

Passo 3

  1. Parâmetros numéricos:
    • R=dfrac3,cm2=1,5,cm=0,015,m;
    • Drm eff=1,5times10^-8,m^2/s;
    • queremos M(0,t)<=0,03 (b.u.).
  2. Definindo a fração remanescente no centro:
M(0,t)-00,35-0=1,594exp!(-2,405^2,Drm effR^2,t)<=0,030,35approx0,086
3) Despejando t:
exp!(-2,405^2,Drm effR^2,t)<=0,0861,594,
-2,405^2,Drm effR^2,t<=ln!(0,0861,594),
t>= -R^2alpha1^2,Drm eff;ln!(0,0861,594)
4) Cálculo:
- alpha1^2=2,405^2approx5,783,
- R^2=0,015^2=2,25times10^-4,m^2,
- ln (0,086/1,594)=ln 0,05396≈–2,919.
tapprox -2,25times10^-45,783times1,5times10^-8;(-2,919);approx7,57times10^3 s

Resposta

O cilindro precisa ficar em contato com a corrente de ar por cerca de 7,6×10³ s, isto é, aproximadamente 2,1 h.

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