Um cilindro de cerâmica com 25 cm de comprimento e 3 cm de diâmetro, encontra-se inicialmente com
de umidade (b.u.) uniformemente distribuída no seu interior. A partir de um dado tempo, a peça é exposta a uma corrente de ar isento de umidade a
. A difusividade efetiva da umidade na cerâmica é
. Estime o tempo que a peça deve ser mantida em contato com a corrente de ar para garantir que a umidade não seja superior a
em nenhuma posição do cilindro.
Passo 1
Resumo da questão: temos um cilindro de cerâmica (comprimento 25 cm, diâmetro 3 cm) com umidade inicial uniforme de 35 % (b.u.) exposto a ar seco a 40 °C. Queremos saber quanto tempo leva para todo o cilindro chegar a no máximo 3 % de umidade.
Conteúdo: difusão de massa (Lei de Fick), resolução de PDE em coordenadas cilíndricas, aproximação de um termo (primeira pulsação de Bessel). Vamos precisar da solucão aproximada para difusão em cilindro com contorno a umidade zero na superfície e da raiz da função de Bessel
.
Conteúdo: difusão de massa (Lei de Fick), resolução de PDE em coordenadas cilíndricas, aproximação de um termo (primeira pulsação de Bessel). Vamos precisar da solucão aproximada para difusão em cilindro com contorno a umidade zero na superfície e da raiz
Passo 2
Teoria aplicada:
- A umidade
obedece à Lei de Fick (segunda lei):
2) Condições de contorno e iniciais:
-
-
- simetria no centro (
3) A solução por separação de variáveis gera uma série em funções de Bessel. Usando só o primeiro termo (one‐term approximation) obtemos, no centro do cilindro (
onde
-
(equilíbrio com ar seco), -
(primeira raiz de ), -
, com primeira ordem de Bessel.
Passo 3
- Parâmetros numéricos:
-
; -
; - queremos
(b.u.).
-
- Definindo a fração remanescente no centro:
3) Despejando
4) Cálculo:
-
-
- ln (0,086/1,594)=ln 0,05396≈–2,919.
Resposta
O cilindro precisa ficar em contato com a corrente de ar por cerca de 7,6×10³ s, isto é, aproximadamente 2,1 h.