Universidade Federal de Uberlândia
Neste item, considera-se que o reservatório apresenta estratificação contínua linear, com massa específica igual a
(na superficie livre) e de
) (no fundo). Diante disso, calcule a força resultante (total) sobre a parede de montante da barragem. Apresente o resultado final em kN e em tonelada-força.
Neste item, considera-se que o reservatório apresenta estratificação contínua linear, com massa específica igual a
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um reservatório cuja densidade varia linearmente de ρ₀ = 1000 kg/m³ na superfície até ρ₁ = 1100 kg/m³ no fundo, e queremos a força resultante que este fluido faz sobre a parede de montante da barragem.
Conteúdo: Estática dos fluidos com densidade variável.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Estática dos fluidos com densidade variável.
O que vamos precisar:
- A relação pressão–profundidade para fluido de densidade variável.
- A fórmula da força como integral da pressão sobre a área da parede.
Para obter um valor numérico precisaríamos também da altura total H do reservatório e da largura da parede b (ou considerar b = 1 m para força por metro de largura).
Passo 2
Teoria aplicada:
- Em estática de fluidos, a pressão a uma profundidade y é p(y) = ρ(y)·g·y, onde g = 9,81 m/s².
- A força resultante sobre a parede é F = ∫₀ᴴ p(y)·b dy = b·g∫₀ᴴ ρ(y)·y dy.
- Como a densidade varia linearmente, escrevemos
ρ(y) = ρ₀ + (ρ₁–ρ₀)·(y/H).
Passo 3
Cálculo da integral:
ρ(y)·y = ρ₀·y + [(ρ₁–ρ₀)/H]·y²
∫₀ᴴρ₀·y dy = ρ₀·H²/2
∫₀ᴴ[(ρ₁–ρ₀)/H]·y² dy = (ρ₁–ρ₀)/H · H³/3 = (ρ₁–ρ₀)·H²/3
Somando: ∫₀ᴴρ(y)·y dy = H²·[ρ₀/2 + (ρ₁–ρ₀)/3] = H²·(ρ₀ + 2 ρ₁)/6
ρ(y)·y = ρ₀·y + [(ρ₁–ρ₀)/H]·y²
∫₀ᴴρ₀·y dy = ρ₀·H²/2
∫₀ᴴ[(ρ₁–ρ₀)/H]·y² dy = (ρ₁–ρ₀)/H · H³/3 = (ρ₁–ρ₀)·H²/3
Somando: ∫₀ᴴρ(y)·y dy = H²·[ρ₀/2 + (ρ₁–ρ₀)/3] = H²·(ρ₀ + 2 ρ₁)/6
Passo 4
Substituindo na expressão de F:
F = b·g·H²·(ρ₀ + 2 ρ₁)/6
F = b·g·H²·(ρ₀ + 2 ρ₁)/6
Resposta
Força resultante sobre a parede (por largura b):
onde ρ₀ = 1000 kg/m³, ρ₁ = 1100 kg/m³, g = 9,81 m/s².
Para obter valores em kN e tf basta inserir H e b (ou tomar b = 1 m) e converter N em kN ou em tonelada-força (1 tf ≃ 9,81 kN).
Para obter valores em kN e tf basta inserir H e b (ou tomar b = 1 m) e converter N em kN ou em tonelada-força (1 tf ≃ 9,81 kN).