(20%) Uma tubulação circular de ferro fundido (varepsilon=0,375 mm) de 30 cm de diâmetro e 2 km de extensão, transporta água a 10^circ C com viscosidade cinemática igual a 1,307 times 10^-6 m^2 / s. Qual será a vazão máxima transportada se a energia dissipada for igual a 4,6 m. Despreze as perdas de cargas localizadas e utilize a equação universal de perda de carga.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um cano de ferro fundido (rugosidade ε=0,375 mm) com diâmetro D=0,30 m e comprimento L=2 km, por onde passa água a 10 °C (ν=1,307×10⁻⁶ m²/s). Queremos achar a vazão máxima Q se a perda de carga total hf for 4,6 m.
Conteúdo: perda de carga pela equação de Darcy–Weisbach e fator de atrito geral (equação de Colebrook–White). Vamos precisar relacionar hf, fator de atrito f, velocidade V e depois achar Q=V⋅A.

Passo 2

A equação de Darcy–Weisbach para perda de carga é
hf = f,LD,V^22g,
onde
  • 1raiz f = -2log10!gl(varepsilon3,7D + 2,51Re,raiz fgr), m,
  • f = 0,25l[log10!l(tfracvarepsilon3,7D ;+;tfrac5,74Re^0,9r)r]^2 m/s²,
  • m,
  • m,
  • é a velocidade média no tubo.
O fator não é dado diretamente: ele obedece à equação universal de Colebrook–White
com .
Para facilitar, usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma aproximação muito boa):

Passo 3

  1. Chute inicial: V1 = raiz2,g,hf,Df1,L = raiz2cdot9,81cdot4,6cdot0,300,02cdot2000 approx0,823;m/s .
  2. Da Darcy–Weisbach:
Re1 = V1,Dnu = 0,823cdot0,301,307times10^-6 approx1,89times10^5
  1. Número de Reynolds:
f2 = 0,25(-3,359)^2approx0,0222
  1. Atualiza por Swamee–Jain:
  • .
  • .
  • Soma ≈4,37×10⁻⁴ → .

Passo 4

Repetindo com V2 = raiz2cdot9,81cdot4,6cdot0,300,0222cdot2000 approx0,782;m/s, :
Re2 = 0,782cdot0,301,307times10^-6 approx1,8times10^5, $$
Re_2 = \frac{0{,}782\cdot0{,}30}{1{,}307\times10^{-6}}
\approx1{,8\times10^5},
$$ f3approx0,0223,
que praticamente não muda mais. Convergiu.

Passo 5

Agora que a velocidade estabilizou em Q = Vcdot A = Vcdotpi D^24 =0,782;pi,(0,30)^24 approx0,055;m^3/s m/s, a vazão é

Resposta

A vazão máxima é cerca de 0,055 m³/s (≈55 L/s).

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