(2004) João está parado em um posto de gasolina quando vê o carro de seu amigo, passando por um ponto P , na estrada, a 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Pretendendo alcançá-lo, João parte com seu carro e passa pelo mesmo ponto P , depois de 4 minutos, já a 80 \mathrm{km} / \mathrm{h}. Considere que ambos dirigem com velocidades constantes. Medindo o tempo, a partir de sua passagem pelo ponto P, João deverá alcançar seu amigo, aproximadamente, em
a) 4 minutos
b) 10 minutos
c) 12 minutos
d) 15 minutos
e) 20 minutos

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um amigo passa pelo ponto P na estrada com velocidade constante de \,60\\ \mathrm{km/h}.
  • João parte depois e, ao passar pelo mesmo ponto P, já se move com velocidade constante de \,80\\ \mathrm{km/h}.
  • O amigo passou por P 4 minutos antes de João (logo, quando João passa por P o amigo já está adiante).
  • Pergunta: medindo o tempo a partir da passagem de João por P, quanto tempo (aproximadamente) João levará para alcançar o amigo?

Passo 2

Primeiro transformar os 4 minutos em horas (porque as velocidades estão em \mathrm{km/h}).
Uma hora tem 60 minutos, então
\frac{4}{60}=\frac{1}{15}\\ \text{horas}.
Vou chamar esse tempo de vantagem temporal do amigo: t_{\text{vant}}=\frac{1}{15}\\ \text{h}.

Passo 3

Explicar e usar a relação básica distância = velocidade × tempo.
Se o amigo já passou por P \frac{1}{15} horas antes, a distância que ele tem de vantagem quando João passa por P é
d_0 = v_{\text{amigo}}\cdot t_{\text{vant}}.
Aqui v_{\text{amigo}}=60\\ \mathrm{km/h}. Substituindo,
d_0 = 60\cdot\frac{1}{15}.

Passo 4

Calcular a vantagem em quilômetros:
d_0 = 60\cdot\frac{1}{15}=4\\ \mathrm{km}.
Interpretação: quando João passa por P o amigo já está 4\\ \mathrm{km} à frente.

Passo 5

Explicar o conceito de velocidade relativa (feijão com arroz): quando dois objetos se movem na mesma direção com velocidades constantes, a velocidade com que o que está atrás se aproxima do da frente é a diferença entre as velocidades.
Definindo v_J velocidade de João e v_A velocidade do amigo,
v_{\text{rel}} = v_J - v_A.
Aqui v_J=80\\ \mathrm{km/h} e v_A=60\\ \mathrm{km/h}. Então
v_{\text{rel}} = 80-60=20\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

O tempo necessário para eliminar a vantagem d_0 é a vantagem dividida pela velocidade relativa:
t = \frac{d_0}{v_{\text{rel}}}.
Substituindo d_0=4\\ \mathrm{km} e v_{\text{rel}}=20\\ \mathrm{km/h},
t=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\\ \text{horas}.

Passo 7

Converter \frac{1}{5} horas para minutos: uma hora tem 60 minutos, então
\frac{1}{5}\cdot 60 = 12\\ \text{minutos}.

Passo 8

Cheque rápido de coerência (para descansar a cabeça): v_{\text{rel}}=20\\ \mathrm{km/h}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\\ \mathrm{km/min}. Com vantagem 4\\ \mathrm{km}, o tempo é 4\div\frac{1}{3}=12 minutos. Dá o mesmo número — sinal de que os cálculos estão consistentes. Força aí, tá indo bem!

Resposta

c) 12 minutos

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