( \mathbf{1 , 5} ponto) Um trem com velocidade constante de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h} se move na direção leste por 40 min , depois em uma direção nordeste fazendo um ângulo de 50^{\circ} com a direção norte por 20 min e finalmente na direção oeste por mais 50 min . Qual o módulo e o ângulo da velocidade média durante esta viagem?

Passo 1

O enunciado dá um trem que se move com velocidade constante de 80\\ \mathrm{km/h} em três trechos com direções e durações diferentes e pede o módulo e o ângulo da velocidade média durante toda a viagem. Informações dadas:
\text{velocidade: } v=80\\ \mathrm{km/h}
\text{trecho 1: direção leste, duração }40\\ \text{min}çãçã
\text{trecho 2: direção "nordeste fazendo }50^\circ\text{ com a direção norte", duração }20\\ \text{min}çãçãçã
\text{trecho 3: direção oeste, duração }50\\ \text{min}çãçã
O que é pedido:
  • o módulo (norma) da velocidade média vetorial durante toda a viagem;
  • o ângulo da velocidade média (vou indicar o ângulo como “a partir do norte, no sentido leste”, ou seja, “x^\circ a leste do norte”).

Passo 2

Defino um sistema de eixos para trabalhar com componentes vetoriais:
x\text{: positivo para leste,}
y\text{: positivo para norte.}
Explicação breve (didática): representar movimentos em direções diferentes por componentes significa decompor cada deslocamento em uma parte horizontal ( x) e uma parte vertical ( y). Depois somamos componente a componente para obter o deslocamento resultante.

Passo 3

Converto as durações de minutos para horas (porque v está em \mathrm{km/h}):
40\\ \text{min} = \frac{40}{60}=\frac{2}{3}\\ \text{h},
20\\ \text{min} = \frac{20}{60}=\frac{1}{3}\\ \text{h},
50\\ \text{min} = \frac{50}{60}=\frac{5}{6}\\ \text{h}.

Passo 4

Calculo o deslocamento (distância) em cada trecho usando \text{deslocamento}=v\cdot t.
s_1 = v\cdot\frac{2}{3} = 80\cdot\frac{2}{3}=\frac{160}{3}\\ \mathrm{km}
s_2 = v\cdot\frac{1}{3} = 80\cdot\frac{1}{3}=\frac{80}{3}\\ \mathrm{km}
s_3 = v\cdot\frac{5}{6} = 80\cdot\frac{5}{6}=\frac{200}{3}\\ \mathrm{km}
Comentário: esses s_i são os módulos dos vetores deslocamento em cada trecho.

Passo 5

Decomponho cada deslocamento em componentes x e y.
Trecho 1 (leste): todo em x positivo
x_1 = \frac{160}{3},\qquad y_1=0.
Trecho 2 (direção definida pelo enunciado como “nordeste fazendo um ângulo de 50^\circ com a direção norte”):
  • isso significa que a direção do trecho 2 está inclinada 50^\circ a partir do eixo y (norte) em direção ao leste. Em termos de componentes:
x_2 = s_2\sin(50^\circ),\qquad y_2 = s_2\cos(50^\circ).
Explicação didática das fórmulas: quando o ângulo é medido a partir do eixo y, a componente ao longo do x usa \sin e a ao longo de y usa \cos. Aqui s_2 é o comprimento do deslocamento neste trecho.
Trecho 3 (oeste): todo em x negativo
x_3 = -\frac{200}{3},\qquad y_3=0.

Passo 6

Substituo s_2=\dfrac{80}{3} nas componentes do trecho 2 e calculo numericamente (vou usar valores de seno e cosseno; se estiver de prova sem calculadora, use aproximações ou tabela trigonométrica):
\sin(50^\circ)\approx 0{,}7660444431,\qquad \cos(50^\circ)\approx 0{,}6427876097.
x_2 = \frac{80}{3}\sin(50^\circ)\approx \frac{80}{3}\cdot 0{,}7660444431\approx 20{,}4278518165\\ \mathrm{km}
y_2 = \frac{80}{3}\cos(50^\circ)\approx \frac{80}{3}\cdot 0{,}6427876097\approx 17{,}1408698957\\ \mathrm{km}
Agora somo componente a componente:
x_{\text{tot}} = x_1+x_2+x_3 = \frac{160}{3} + x_2 - \frac{200}{3}.
Escrevendo de forma útil:
x_{\text{tot}} = \frac{80\sin(50^\circ)-40}{3}\approx 7{,}0945184832\\ \mathrm{km}
y_{\text{tot}} = y_1+y_2+y_3 = y_2 \approx 17{,}1408698957\\ \mathrm{km}

Passo 7

Calculo o deslocamento resultante (módulo do vetor deslocamento) usando o teorema de Pitágoras:
\Delta r=\sqrt{x_{\text{tot}}^{2}+y_{\text{tot}}^{2}}.
Substituindo os valores:
\Delta r\approx \sqrt{(7{,}0945184832)^{2}+(17{,}1408698957)^{2}}\approx 18{,}551478\\ \mathrm{km}.
Breve revisão didática: somar componentes e aplicar \sqrt{x^2+y^2} dá o comprimento do vetorresultante.

Passo 8

Calculo o tempo total da viagem:
T=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}\\ \text{h}\approx 1{,}833333\\ \text{h}.
A velocidade média vetorial é o deslocamento resultante dividido pelo tempo total:
\vec{v}_{\text{média}}=\frac{\vec{\Delta r}}{T}.é
O módulo da velocidade média é
|\vec{v}_{\text{média}}|=\frac{\Delta r}{T}\approx\frac{18{,}551478}{11/6}=18{,}551478\cdot\frac{6}{11}\approx 10{,}1190\\ \mathrm{km/h}.é

Passo 9

Calculo o ângulo da velocidade média. Vou dar o ângulo como “a partir do norte, no sentido leste” (consistentemente com a descrição do enunciado do segundo trecho). A tangente desse ângulo é a razão entre a componente x (leste) e a componente y (norte):
\theta = \arctan\!\left(\frac{x_{\text{tot}}}{y_{\text{tot}}}\right).
Substituindo os valores:
\theta \approx \arctan\!\left(\frac{7{,}0945184832}{17{,}1408698957}\right)\approx 22{,}45^\circ.
Interpretação: o vetor velocidade média aponta aproximadamente 22{,}45^\circ a leste do norte. Se preferir expressar em relação ao leste, isso equivale a 90^\circ-22{,}45^\circ\approx 67{,}55^\circ ao norte do leste.

Resposta

|\vec{v}_{\text{média}}|\approx 10{,}12\\ \mathrm{km/h}é \
\theta\approx 22{,}45^\circ a leste do norte (equivalente a aproximadamente 67{,}55^\circ ao norte do leste)

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