(
ponto) Um trem com velocidade constante de
se move na direção leste por 40 min , depois em uma direção nordeste fazendo um ângulo de
com a direção norte por 20 min e finalmente na direção oeste por mais 50 min . Qual o módulo e o ângulo da velocidade média durante esta viagem?
Passo 1
O enunciado dá um trem que se move com velocidade constante de
em três trechos com direções e durações diferentes e pede o módulo e o ângulo da velocidade média durante toda a viagem. Informações dadas:
O que é pedido:
- o módulo (norma) da velocidade média vetorial durante toda a viagem;
- o ângulo da velocidade média (vou indicar o ângulo como “a partir do norte, no sentido leste”, ou seja, “x^\circ a leste do norte”).
Passo 2
Defino um sistema de eixos para trabalhar com componentes vetoriais:
Explicação breve (didática): representar movimentos em direções diferentes por componentes significa decompor cada deslocamento em uma parte horizontal (
) e uma parte vertical (
). Depois somamos componente a componente para obter o deslocamento resultante.
Passo 3
Converto as durações de minutos para horas (porque
está em
):
Passo 4
Calculo o deslocamento (distância) em cada trecho usando
.
Comentário: esses
são os módulos dos vetores deslocamento em cada trecho.
Passo 5
Decomponho cada deslocamento em componentes
e
.
Trecho 1 (leste): todo em
positivo
Trecho 2 (direção definida pelo enunciado como “nordeste fazendo um ângulo de
com a direção norte”):
- isso significa que a direção do trecho 2 está inclinada
a partir do eixo (norte) em direção ao leste. Em termos de componentes:
Explicação didática das fórmulas: quando o ângulo é medido a partir do eixo
, a componente ao longo do
usa
e a ao longo de
usa
. Aqui
é o comprimento do deslocamento neste trecho.
Trecho 3 (oeste): todo em
negativo
Passo 6
Substituo
nas componentes do trecho 2 e calculo numericamente (vou usar valores de seno e cosseno; se estiver de prova sem calculadora, use aproximações ou tabela trigonométrica):
Agora somo componente a componente:
Escrevendo de forma útil:
Passo 7
Calculo o deslocamento resultante (módulo do vetor deslocamento) usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Breve revisão didática: somar componentes e aplicar
dá o comprimento do vetorresultante.
Passo 8
Calculo o tempo total da viagem:
A velocidade média vetorial é o deslocamento resultante dividido pelo tempo total:
O módulo da velocidade média é
Passo 9
Calculo o ângulo da velocidade média. Vou dar o ângulo como “a partir do norte, no sentido leste” (consistentemente com a descrição do enunciado do segundo trecho). A tangente desse ângulo é a razão entre a componente
(leste) e a componente
(norte):
Substituindo os valores:
Interpretação: o vetor velocidade média aponta aproximadamente
a leste do norte. Se preferir expressar em relação ao leste, isso equivale a
ao norte do leste.