Problema 3 ( 30 pontos) Um capacitor de placas paralelas tem área A e distância d. Um outro capacitor de placas cilíndricas tem altura h e raios R_{1} e R_{2} com R_{2}>R_{1}.
a) Calcule as capacitâncias nos dois casos.
b) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em série?
c) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em paralelo?
Passo 1
O enunciado dá dois capacitores e pede três coisas:
Um capacitor de placas paralelas com área \,A\, e separação \,d\,.
Um capacitor cilíndrico (coaxial) com altura \,h\, e raios internos/externos \,R_{1}\, e \,R_{2}\, com \,R_{2}>R_{1}\,.
Perguntas:
(a) Calcular as capacitâncias dos dois capacitores (placas paralelas e cilíndrico).
(b) Calcular a capacitância equivalente se os dois forem colocados em série.
(c) Calcular a capacitância equivalente se os dois forem colocados em paralelo.
Informações relevantes fornecidas:
Dados geométricos: \,A, d, h, R_{1}, R_{2}\,.
Não foi especificado o meio entre as placas; usarei a permissividade elétrica do meio \,\varepsilon\, (para vácuo/ar \,\varepsilon=\varepsilon_{0}\,).
Passo 2
Conceito básico (aula rápida): o que é capacitância?
A capacitância \,C\, de um componente é definida por
C=\frac{Q}{V},
onde \,Q\, é a carga armazenada e \,V\, é a diferença de potencial entre as placas.
Para computar \,C\, a técnica usual é: encontrar o campo elétrico \,E\, gerado pela carga, calcular a diferença de potencial \,V=\int \! \vec{E}\cdot d\vec{\ell} entre placas, e então usar C=Q/V.
A constante \,\varepsilon\, aparece nas leis de Gauss e relaciona o campo com a carga no meio. Em ar ou vácuo \,\varepsilon=\varepsilon_{0}.
Passo 3
Capacitor de placas paralelas — modelo e hipótese:
Pressupomos placas grandes e paralelas com separação pequena \,d\, (assim desprezamos efeitos de borda). O campo entre as placas é praticamente uniforme.
Se uma placa tem carga +Q e a outra -Q, a densidade de carga superficial é \sigma=\dfrac{Q}{A}.
Passo 4
Campo elétrico entre as placas e diferença de potencial (placas paralelas):
Para um par de placas infinitas a primeira ordem, o campo entre elas (na região entre as placas) é
Interpretação: aumentar a área \,A\, aumenta C; aumentar a distância \,d\, reduz C; \varepsilon depende do material entre as placas.
Passo 6
Capacitor cilíndrico coaxial — modelo e plano de ataque:
Temos dois cilindros concêntricos de comprimento/altura \,h\,, raios \,R_1\, (interno) e \,R_2\, (externo). Carga +Q no cilindro interno e -Q no externo.
Para achar C: primeiro obter campo \,E(r)\, usando a Lei de Gauss, depois calcular a diferença de potencial entre \,R_1\, e \,R_2\, por integração, e por fim C=Q/V.
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss para o capacitor cilíndrico:
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio \,r\, tal que \,R_1<r<R_2\, e comprimento \,h.
A carga por unidade de comprimento é \lambda=\dfrac{Q}{h}.
Observação: quanto maior a altura \,h\, maior C; quanto maior a razão \,R_2/R_1\, (mais afastados), maior o logaritmo e menor C.
Passo 10
Parte (b) — capacitores em série: regra geral e justificativa:
Relembre: para capacitores em série a mesma carga passa por cada capacitor (cada um tem carga \,Q\,), e a diferença de potencial total é soma das diferenças:
V_{\text{total}}=V_{1}+V_{2}.
Como Q=C_{1}V_{1}=C_{2}V_{2}, ao somar e manipular obtemos a relação
Aplicando à nossa situação (substituindo as expressões encontradas):
Com \,C_{1}=C_{\text{placas}}=\dfrac{\varepsilon A}{d}\, e \,C_{2}=C_{\text{cil}}=\dfrac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}, a capacitância equivalente em série é
a) C_{\text{placas}}=\dfrac{\varepsilon A}{d}
a) C_{\text{cil}}=\dfrac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}
b) C_{\text{eq, série}}=\left(\dfrac{d}{\varepsilon A}+\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}{2\pi\varepsilon h}\right)^{-1}é
c) C_{\text{eq, paralelo}}=\dfrac{\varepsilon A}{d}+\dfrac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}