Problema 3 ( 30 pontos) Um capacitor de placas paralelas tem área A e distância d. Um outro capacitor de placas cilíndricas tem altura h e raios R_{1} e R_{2} com R_{2}>R_{1}.
  • a) Calcule as capacitâncias nos dois casos.
  • b) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em série?
  • c) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em paralelo?

Passo 1

O enunciado dá dois capacitores e pede três coisas:
  • Um capacitor de placas paralelas com área \,A\, e separação \,d\,.
  • Um capacitor cilíndrico (coaxial) com altura \,h\, e raios internos/externos \,R_{1}\, e \,R_{2}\, com \,R_{2}>R_{1}\,.
Perguntas:
  1. (a) Calcular as capacitâncias dos dois capacitores (placas paralelas e cilíndrico).
  2. (b) Calcular a capacitância equivalente se os dois forem colocados em série.
  3. (c) Calcular a capacitância equivalente se os dois forem colocados em paralelo.
Informações relevantes fornecidas:
  • Dados geométricos: \,A, d, h, R_{1}, R_{2}\,.
  • Não foi especificado o meio entre as placas; usarei a permissividade elétrica do meio \,\varepsilon\, (para vácuo/ar \,\varepsilon=\varepsilon_{0}\,).

Passo 2

Conceito básico (aula rápida): o que é capacitância?
  • A capacitância \,C\, de um componente é definida por
C=\frac{Q}{V},
onde \,Q\, é a carga armazenada e \,V\, é a diferença de potencial entre as placas.
  • Para computar \,C\, a técnica usual é: encontrar o campo elétrico \,E\, gerado pela carga, calcular a diferença de potencial \,V=\int \! \vec{E}\cdot d\vec{\ell} entre placas, e então usar C=Q/V.
  • A constante \,\varepsilon\, aparece nas leis de Gauss e relaciona o campo com a carga no meio. Em ar ou vácuo \,\varepsilon=\varepsilon_{0}.

Passo 3

Capacitor de placas paralelas — modelo e hipótese:
  • Pressupomos placas grandes e paralelas com separação pequena \,d\, (assim desprezamos efeitos de borda). O campo entre as placas é praticamente uniforme.
  • Se uma placa tem carga +Q e a outra -Q, a densidade de carga superficial é \sigma=\dfrac{Q}{A}.

Passo 4

Campo elétrico entre as placas e diferença de potencial (placas paralelas):
  • Para um par de placas infinitas a primeira ordem, o campo entre elas (na região entre as placas) é
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{Q}{\varepsilon A}.
  • A diferença de potencial entre as placas é o campo vezes a distância:
V=E\,d=\frac{Q}{\varepsilon A}\,d=\frac{Qd}{\varepsilon A}.

Passo 5

Capacitância do capacitor de placas paralelas:
  • Usando C=Q/V com o V acima,
C_{\text{placas}}=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Qd}{\varepsilon A}}=\frac{\varepsilon A}{d}.
  • Interpretação: aumentar a área \,A\, aumenta C; aumentar a distância \,d\, reduz C; \varepsilon depende do material entre as placas.

Passo 6

Capacitor cilíndrico coaxial — modelo e plano de ataque:
  • Temos dois cilindros concêntricos de comprimento/altura \,h\,, raios \,R_1\, (interno) e \,R_2\, (externo). Carga +Q no cilindro interno e -Q no externo.
  • Para achar C: primeiro obter campo \,E(r)\, usando a Lei de Gauss, depois calcular a diferença de potencial entre \,R_1\, e \,R_2\, por integração, e por fim C=Q/V.

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss para o capacitor cilíndrico:
  • Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio \,r\, tal que \,R_1<r<R_2\, e comprimento \,h.
  • A carga por unidade de comprimento é \lambda=\dfrac{Q}{h}.
  • Pela Lei de Gauss:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon}
E(r)\cdot(2\pi r h)=\frac{\lambda h}{\varepsilon}
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}.

Passo 8

Diferença de potencial entre os cilindros:
  • A diferença de potencial do condutor interno ( R_1) até o externo ( R_2) é a integral do campo radial:
V = -\int_{R_{1}}^{R_{2}} \vec{E}\cdot d\vec{r} = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}\,dr.
  • Calculando a integral:
V=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\left[\ln r\right]_{R_1}^{R_2}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right).

Passo 9

Capacitância do capacitor cilíndrico:
  • Usando \lambda=Q/h e C=Q/V,
C_{\text{cil}}=\frac{Q}{V}=\frac{\lambda h}{\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)} =\frac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}.
  • Observação: quanto maior a altura \,h\, maior C; quanto maior a razão \,R_2/R_1\, (mais afastados), maior o logaritmo e menor C.

Passo 10

Parte (b) — capacitores em série: regra geral e justificativa:
  • Relembre: para capacitores em série a mesma carga passa por cada capacitor (cada um tem carga \,Q\,), e a diferença de potencial total é soma das diferenças:
V_{\text{total}}=V_{1}+V_{2}.
  • Como Q=C_{1}V_{1}=C_{2}V_{2}, ao somar e manipular obtemos a relação
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}.

Passo 11

Aplicando à nossa situação (substituindo as expressões encontradas):
  • Com \,C_{1}=C_{\text{placas}}=\dfrac{\varepsilon A}{d}\, e \,C_{2}=C_{\text{cil}}=\dfrac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}, a capacitância equivalente em série é
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C_{\text{placas}}}+\frac{1}{C_{\text{cil}}} =\frac{d}{\varepsilon A}+\frac{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}{2\pi\varepsilon h}.é
  • Portanto
C_{\text{eq, série}}=\left(\frac{d}{\varepsilon A}+\frac{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}{2\pi\varepsilon h}\right)^{-1}.é

Passo 12

Parte (c) — capacitores em paralelo: regra geral e justificativa:
  • Para capacitores em paralelo, a diferença de potencial em cada um é igual ( V comum) e as cargas se somam:
Q_{\text{total}}=Q_{1}+Q_{2}=C_{1}V+C_{2}V=(C_{1}+C_{2})V.
  • Logo a capacitância equivalente é
C_{\text{eq, paralelo}}=C_{1}+C_{2}.

Passo 13

Aplicando à nossa situação (soma direta):
C_{\text{eq, paralelo}}=C_{\text{placas}}+C_{\text{cil}} =\frac{\varepsilon A}{d}+\frac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}.

Resposta

a) C_{\text{placas}}=\dfrac{\varepsilon A}{d}
a) C_{\text{cil}}=\dfrac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}
b) C_{\text{eq, série}}=\left(\dfrac{d}{\varepsilon A}+\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}{2\pi\varepsilon h}\right)^{-1}é
c) C_{\text{eq, paralelo}}=\dfrac{\varepsilon A}{d}+\dfrac{2\pi\varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}

Exercícios relacionados