Questão 3 - (25,0 pontos)

Considere um capacitor de placas planas e paralelas de área A, distância de separação entre as placas d, carregados respectivamente com cargas +q \mathrm{e}-q.
a)(14pts) Calcule os campos elétricos individuais \overrightarrow{E_{1}} e \overrightarrow{E_{2}} que cada plano exerce um sobre o outro em termos de q, \varepsilon_{0} e A.
b)(11pts) Considere que as placas do capacitor estão ligadas a uma bateria de com diferença de potencial constante V e determine uma expressão matemática para o módulo da força que cada placa exerce uma sobre a outra em função de V, \varepsilon_{0}, d \mathrm{e} A.

Passo 1

O enunciado apresenta um capacitor de placas planas e paralelas com área A e separação d. As placas estão carregadas com cargas +q e -q. São pedidas duas coisas:
  1. (a) Calcular os campos elétricos individuais \overrightarrow{E_{1}} e \overrightarrow{E_{2}} que cada plano exerce sobre o outro, em termos de q, \varepsilon_{0} e A.
  2. (b) Quando as placas estão ligadas a uma bateria que mantém a diferença de potencial constante V, determinar uma expressão para o módulo da força que cada placa exerce sobre a outra, em função de V, \varepsilon_{0}, d e A.
Informações dadas e úteis para a resolução:
  • Área de cada placa: A.
  • Distância entre as placas: d.
  • Cargas das placas: +q e -q.
  • Constante do meio (vácuo): \varepsilon_{0}.
  • Para (b) há uma bateria com diferença de potencial V mantendo o campo/voltagem entre as placas.

Passo 2

Primeiro precisamos saber qual é o campo elétrico gerado por uma placa plana carregada (modelo de placa muito grande, ou “plano infinito”, que é a aproximação usual para um capacitor de placas paralelas quando desprezamos bordas). Vou ensinar isso passo a passo usando a Lei de Gauss — é rápido e elegante.
Defina a densidade superficial de carga \sigma como a carga por unidade de área:
\sigma = \frac{q}{A}.
Agora, para uma placa infinita com densidade \sigma, escolha uma “caixa gaussiana” em forma de um pequeno cilindro (pillbox) que cruza a placa: as duas tampas do cilindro ficam uma de cada lado da placa e têm área S (tampas paralelas à placa). O campo elétrico gerado por uma placa infinita é perpendicular à placa e tem mesma magnitude em ambos os lados. Aplicando a Lei de Gauss:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
O fluxo passa apenas pelas duas tampas (cada uma com campo de magnitude E e área S), logo o fluxo total é E S + E S = 2 E S. A carga contida é \sigma S. Substituindo:
2 E S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_{0}}.
Cancelando S e isolando E obtemos a fórmula conhecida:
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
Aqui E é a magnitude do campo produzido por uma placa infinita, em qualquer lado da placa. Explicando as variáveis: \sigma é carga por área, \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema, com \sigma=\dfrac{q}{A}, a magnitude do campo que cada placa produz é
E_{\text{placa}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{q}{2\varepsilon_{0}A}.
Agora explicando a direção (porque o enunciado fala em vetores \overrightarrow{E_1} e \overrightarrow{E_2}):
  • A placa com carga +q gera um campo que aponta para fora da placa, ou seja, aponta da placa positiva na direção da placa negativa.
  • A placa com carga -q gera um campo que aponta para a placa (ou seja, também na mesma direção, do positivo para o negativo).
Portanto, os campos individuais que cada placa exerce no local da outra (módulo e direção) são
\overrightarrow{E_{1}} = \frac{q}{2\varepsilon_{0}A}\,\hat{n}_{1\to2} \qquad\text{e}\qquad \overrightarrow{E_{2}} = \frac{q}{2\varepsilon_{0}A}\,\hat{n}_{2\to1},
onde \hat{n}_{1\to2} é o versor apontando da placa 1 em direção à placa 2 (para a placa positiva esse vetor aponta para a negativa), e \hat{n}_{2\to1} é o versor oposto. Se quisermos apenas os módulos:
E_{1}=E_{2}=\frac{q}{2\varepsilon_{0}A}.

Passo 4

Para a parte (b) precisamos relacionar a carga/σ com a tensão V. Entre as placas do capacitor o campo total (quando desprezamos bordas) é a soma dos campos produzidos por cada placa. Já vimos que cada placa, isoladamente, produz magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} em direção perpendicular; como as placas têm sinais opostos, seus campos entre as placas se somam (mesma direção), obtendo:
E_{\text{entre}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
Esse campo entre as placas é praticamente uniforme (na aproximação sem bordas). A diferença de potencial V imposta pela bateria entre as placas é dada por
V = E_{\text{entre}} \, d = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\, d.
Isolando \sigma obtemos
\sigma = \frac{\varepsilon_{0} V}{d}.

Passo 5

Agora calculamos a força entre as placas. Física básica: a força sobre uma placa é a carga da placa multiplicada pelo campo produzido pela outra placa (a placa não “atua” com seu próprio campo sobre si mesma). Portanto, em módulo,
F = q \times E_{\text{outra}},
onde E_{\text{outra}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (campo produzido por uma placa isolada). Substituindo q=\sigma A temos
F = (\sigma A)\left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\right) = \frac{\sigma^{2} A}{2\varepsilon_{0}}.
Agora substituímos \sigma = \dfrac{\varepsilon_{0} V}{d}:
\sigma^{2} = \frac{\varepsilon_{0}^{2} V^{2}}{d^{2}}.
Substituindo em F:
F = \frac{1}{2\varepsilon_{0}}\left(\frac{\varepsilon_{0}^{2} V^{2}}{d^{2}}\right)A = \frac{\varepsilon_{0} A V^{2}}{2 d^{2}}.
Esse é o módulo da força de atração entre as placas (e vale para cada placa — a ação e reação são iguais em módulo), direção: as placas se atraem (força dirigida uma para a outra).

Passo 6

Recapitulando e reforçando as fórmulas finais (fáceis de decorar para a prova):
  • Campo produzido por cada placa isolada (módulo): \dfrac{q}{2\varepsilon_{0}A}.
  • Campo entre as placas (total): \dfrac{q}{\varepsilon_{0}A}.
  • Relação tensão-carga: V = \dfrac{q\,d}{\varepsilon_{0}A} (útil para exercícios relacionados).
  • Força (módulo) entre as placas em função de V: \dfrac{\varepsilon_{0} A V^{2}}{2 d^{2}}.
Vai dar tudo certo — decore as relações com \sigma=\dfrac{q}{A} e a ideia de que cada placa “sente” só o campo da outra (metade do campo total da configuração), e você resolve esse tipo de questão numa boa.

Resposta

(a) \displaystyle E_{1}=E_{2}=\frac{q}{2\varepsilon_{0}A} (direções: do positivo para o negativo; vetorialmente \overrightarrow{E_{1}}=\dfrac{q}{2\varepsilon_{0}A}\,\hat{n}_{1\to2}, \overrightarrow{E_{2}}=\dfrac{q}{2\varepsilon_{0}A}\,\hat{n}_{2\to1}).\n(b) \displaystyle F=\frac{\varepsilon_{0}A V^{2}}{2 d^{2}}.

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