Se
2^2008-2^2007-2^2006+2^2005=9^k cdot 2^2005
o valor de k é:
Resposta: square

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão:
2^2008 - 2^2007 - 2^2006 + 2^2005 = 9^k cdot 2^2005
O conteúdo envolve propriedades de expoentes e fatoração. Precisamos manipular a expressão do lado esquerdo para escrevê-la na forma do lado direito e encontrar o valor de $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar a menor potência de 2 que aparece na expressão à esquerda, que é $ 2^{2005} $.
2^2005
Explicando: Fatoramos $ 2^{2005} $ de cada termo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o que está dentro dos parênteses:
2^3 - 2^2 - 2^1 + 1 = 8 - 4 - 2 + 1 = 3
Então:
2^2005 cdot 3

Passo 4

Agora, a equação fica:
2^2005 cdot 3 = 9^k cdot 2^2005
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por $ 2^{2005} $:
2^2005

Passo 5

Sabemos que $ 9 = 3^{2} $, então:
9 = 3^2
Comparando os expoentes, temos:
3 = (3^2)^k = 3^2k

Resposta

$ k = \dfrac{1}{2} $

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