Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
Passo 1
Vamos resolver a equação de Riccati
sabendo que uma solução particular é
. Vamos usar o método padrão de transformar Riccati em linear.
Passo 2
Primeiro, verificamos que
realmente satisfaz a equação. Calculamos
Multiplicando por
obtemos
. Por outro lado,
e ambos os lados coincidem, mostrando que
é solução.
Passo 3
Para reduzir a equação ao caso linear, fazemos a substituição típica
Calculamos então
logo
Substituindo
e
na equação original e simplificando, chega-se a
Cancelando
e rearranjando,
Isso é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando toda a equação por
temos
Integrando em
,
Passo 5
Finalmente, voltamos a
:
Escrevendo
e invertendo,
simplifica-se
Passo 6
Resposta geral: a família de soluções é dada por
Resposta
y(x)=\frac{2C + x^{2}}{x(2C - x^{2})}, C\in\mathbb{R}