Mostre que y1 é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
x^2 y^prime=-1-x y+x^2 y^2, y1=x^-1

Passo 1

Vamos resolver a equação de Riccati
x^2y'=-1 - x y + x^2y^2,
sabendo que uma solução particular é y1(x)=x^-1. Vamos usar o método padrão de transformar Riccati em linear.

Passo 2

Primeiro, verificamos que y1(x)=x^-1 realmente satisfaz a equação. Calculamos
y'1 = l(x^-1r)' = -x^-2
Multiplicando por x^2 obtemos x^2y'1=-1. Por outro lado,
-1 - x y1 + x^2y1^2 = -1 - xcdot x^-1 + x^2cdot x^-2 = -1 -1 +1 = -1,
e ambos os lados coincidem, mostrando que y1 é solução.

Passo 3

Para reduzir a equação ao caso linear, fazemos a substituição típica
y = y1 + 1v = 1x + 1v(x)
Calculamos então
y' = -1x^2 - v'v^2,
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x^2y' = -1 - x^2v'v^2
Substituindo y e x^2y' na equação original e simplificando, chega-se a
-1 - x^2v'v^2 = -1 + xv + x^2v^2
Cancelando -1) e rearranjando,
-x^2v'v^2 = xv + x^2v^2 Longrightarrow v' + 1xv = -1
Isso é uma equação linear de primeira ordem em v(x).

Passo 4

Para resolver
v' + 1xv = -1,
usamos fator integrante mu(x)=e^integral(1/x),dx=x. Multiplicando toda a equação por x temos
(xv)' = -x
Integrando em x,
xv = -x^22 + C Longrightarrow v(x) = Cx - x2

Passo 5

Finalmente, voltamos a y:
y = 1x + 1v = 1x + 1Cx - x2
Escrevendo v=tfracCx-tfracx2=tfrac2C - x^22x e invertendo,
1v=2x2C - x^2,
simplifica-se
y(x)=1x+2x2C - x^2=2C + x^2x(2C - x^2)

Passo 6

Resposta geral: a família de soluções é dada por
y(x)=2C + x^2x(2C - x^2), CinR

Resposta

y(x)=\frac{2C + x^{2}}{x(2C - x^{2})}, C\in\mathbb{R}

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