Seja R a região do plano R^2 limitada por y=x^3, x+y=2 e x=0.
Calcule
integral duplaR x y d A

Passo 1

O enunciado nos pede pra calcular integral duplaR x,y,dA onde R é a região limitada pelas curvas y=x^3, x+y=2 e x=0. O conteúdo é integrais duplas em coordenadas cartesianas e vamos precisar descrever corretamente os limites de integração.

Passo 2

Para entender o formato de R, encontramos a interseção entre y=x^3 e x+y=2 resolvendo a equação x + x^3 = 2. Essa é x^3 + x - 2 = 0, que tem raiz x=1. Então x varia de 0 a 1 e, para cada x, y vai de x^3 até 2-x.

Passo 3

Montamos a integral iterada usando Fubini como
integral duplaR x,y,dA = integralx=0^1 l( integraly=x^3^2-x x,y,dy r) dx

Passo 4

Vamos calcular primeiro a integral interna em y. Como x é constante nesse passo, temos
integraly=x^3^2-x x,y,dy = x integraly=x^3^2-x y,dy = x l[tfracy^22r]y=x^3^2-x = x2l((2-x)^2 - x^6r)

Passo 5

Substituindo isso na integral em x, obtemos
integral0^1 x2l((2-x)^2 - x^6r),dx = tfrac12 integral0^1 l(4x - 4x^2 + x^3 - x^7r),dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo e avaliamos de 0 a 1. Primeiro,
integral0^1 l(4x - 4x^2 + x^3 - x^7r),dx = l[2x^2 - tfrac43x^3 + tfracx^44 - tfracx^88r]0^1,
então multiplicamos por tfrac12 e substituímos x=1 e x=0 no resultado:
1 - tfrac23 + tfrac18 - tfrac116

Resposta

19/48

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