Seja R a região do plano R^2 limitada por y=x^3, x+y=2 e x=0.
Descreva R como região do Tipo 1 e do Tipo 2 (ou como união de tais regiões)

Passo 1

O enunciado pede para descrever a região R do plano limitado pelas curvas y=x^3, x+y=2 e x=0 como região do Tipo 1 (varredura vertical) e do Tipo 2 (varredura horizontal). Vamos usar definição de regiões para integrais duplas e encontrar onde as fronteiras se encontram.

Passo 2

Precisamos do ponto de interseção entre y=x^3 e x+y=2. Resolvendo x^3=2−x temos x^3+x−2=0, o que dá raiz real x=1. Substituindo em y=x^3 vem y=1. Logo o encontro é em (1,1).

Passo 3

Para a descrição Tipo 1 (vertical): x varia de 0 até 1 e, para cada x fixo, y varia da curva inferior y=x^3 até a curva superior y=2−x, isto é,

Passo 4

Para a descrição Tipo 2 (horizontal) notamos que a fronteira muda em y=1. Para 0≤y≤1 a esquerda está y=x^3 (x=y^{1/3}) e a direita está x=2−y; para 1≤y≤2 a esquerda está x=0 e a direita permanece x=2−y.

Resposta

Região Tipo 1:
R=(x,y):0<= x<=1,;x^3<= y<=2-x
Região Tipo 2 (união de duas faixas horizontais):
R1=(x,y):0<= y<=1,;y^1/3<= x<=2-y,
R2=(x,y):1<= y<=2,;0<= x<=2-y

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