Seja
a região do plano
limitada por
e
.
Descreva
como região do Tipo 1 e do Tipo 2 (ou como união de tais regiões)
Descreva
Passo 1
O enunciado pede para descrever a região R do plano limitado pelas curvas y=x^3, x+y=2 e x=0 como região do Tipo 1 (varredura vertical) e do Tipo 2 (varredura horizontal). Vamos usar definição de regiões para integrais duplas e encontrar onde as fronteiras se encontram.
Passo 2
Precisamos do ponto de interseção entre y=x^3 e x+y=2. Resolvendo x^3=2−x temos x^3+x−2=0, o que dá raiz real x=1. Substituindo em y=x^3 vem y=1. Logo o encontro é em (1,1).
Passo 3
Para a descrição Tipo 1 (vertical): x varia de 0 até 1 e, para cada x fixo, y varia da curva inferior y=x^3 até a curva superior y=2−x, isto é,
Passo 4
Para a descrição Tipo 2 (horizontal) notamos que a fronteira muda em y=1. Para 0≤y≤1 a esquerda está y=x^3 (x=y^{1/3}) e a direita está x=2−y; para 1≤y≤2 a esquerda está x=0 e a direita permanece x=2−y.
Resposta
Região Tipo 1:
Região Tipo 2 (união de duas faixas horizontais):