Questão 50
Ainda não respondida
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Representando no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções reais de variável real f(x)=\log |x| e g(x)=x\left(x^{2}-4\right) verificamos que o número de soluções da equação f(x)=g(x) é
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções reais da equação
\log|x| \;=\; x\,(x^2 - 4) \;=\; x^3 - 4x,
com x\neq0. Vamos dividir o estudo em dois casos: x>0 e x<0. Para x>0 basta resolver
x^3 - 4x - \log x = 0,
que chamaremos de h(x)=0. Para x<0 definimos x=-t com t>0; daí \log|x|=\log t e x^3-4x = -t^3+4t, o que dá
-t^3 + 4t = \log t \quad\Longleftrightarrow\quad t^3 - 4t + \log t = 0,
que chamaremos de j(t)=0. O total de soluções reais será o número de raízes positivas de h mais o número de raízes positivas de j.

Passo 2

Analisando h(x)=x^3 - 4x - \log x para x>0:
  1. Limites nas bordas:
    \displaystyle\lim_{x\to0^+}h(x)=+\infty (pois -\log x\to+\infty) e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty.
  2. Derivada h'(x) = 3x^2 - 4 - \frac1x = \frac{3x^3 - 4x - 1}{x}.A equação 3x^3 - 4x - 1=0 tem exatamente uma raiz positiva x=c\approx1{,}26, onde h'(x) muda de negativo para positivo. Logo h decresce de +\infty em 0^+ até h\text{(c)}, depois cresce para +\infty.

Passo 3

Como h\text{(c)}<0, o gráfico de h corta o eixo x duas vezes: uma em (0,c) e outra em (c,+\infty). Concluímos que h(x)=0 tem exatamente duas raízes positivas, ou seja, duas soluções com x>0.

Passo 4

Agora j(t)=t^3 - 4t + \log t para t>0:
  1. Limites: \displaystyle\lim_{t\to0^+}j(t)=-\infty e \displaystyle\lim_{t\to+\infty}j(t)=+\infty.
  2. Derivada j'(t) = 3t^2 - 4 + \frac1t = \frac{3t^3 - 4t + 1}{t}.A cúbica 3t^3 -4t +1 tem duas raízes em (0,+\infty), gerando primeiro um máximo local e depois um mínimo local, mas ambos os valores críticos são negativos ( j nunca ultrapassa zero antes de crescer para +\infty). Assim j(t)=0 tem exatamente uma raiz positiva.

Passo 5

Somando as soluções dos dois casos, temos 2 raízes de h(x)=0 (caso x>0) mais 1 raiz de j(t)=0 (caso x<0), totalizando 3 soluções reais da equação original.

Resposta

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