Questão 50
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
『 Marcar questão
Representando no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções reais de variável real
e
verificamos que o número de soluções da equação
é
Resposta:
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
『 Marcar questão
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções reais da equação
com
. Vamos dividir o estudo em dois casos:
e
. Para
basta resolver
que chamaremos de
. Para
definimos
com
; daí
e
, o que dá
que chamaremos de
. O total de soluções reais será o número de raízes positivas de
mais o número de raízes positivas de
.
Passo 2
Analisando
para
:
- Limites nas bordas:
(pois ) e . - Derivada
A equação tem exatamente uma raiz positiva , onde muda de negativo para positivo. Logo decresce de em até , depois cresce para .
Passo 3
Como
, o gráfico de
corta o eixo
duas vezes: uma em
e outra em
. Concluímos que
tem exatamente duas raízes positivas, ou seja, duas soluções com
.
Passo 4
Agora
para
:
- Limites:
e . - Derivada
A cúbica tem duas raízes em , gerando primeiro um máximo local e depois um mínimo local, mas ambos os valores críticos são negativos ( nunca ultrapassa zero antes de crescer para ). Assim tem exatamente uma raiz positiva.
Passo 5
Somando as soluções dos dois casos, temos
raízes de
(caso
) mais
raiz de
(caso
), totalizando 3 soluções reais da equação original.
Resposta
3