(CN 1994) Um tanque tem duas torneiras para enchê-lo. A primeira tem uma vazão de 6 litros por minuto e a segunda de 4 litros por minuto. Se metade do tanque é enchido pela primeira torneira num certo tempo \mathrm{t}_{1}, e o restante pela segunda em um certo tempo \mathrm{t}_{2}, qual deveria ser a vazão, em litros, por minuto de uma única torneira para encher completamente o tanque no tempo \mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2} ?
a) 4,5
b) 4,8
c) 5,0
d) 5,2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem duas torneiras com vazões de 6 litros por minuto e 4 litros por minuto.
  • A primeira torneira enche metade do tanque em um certo tempo t_{1}.
  • A segunda torneira enche a outra metade do tanque em um certo tempo t_{2}.
    A pergunta é: qual deve ser a vazão, em litros por minuto, de uma única torneira para encher todo o tanque no tempo t_{1}+t_{2}? As alternativas oferecidas são: (a) 4,5, (b) 4,8, (c) 5,0, (d) 5,2.

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para deixar tudo claro:
  • Seja V o volume total do tanque (em litros).
    Lembrete importante (fórmula que usamos): a relação básica entre volume, vazão e tempo é
\text{volume} = \text{vazão} \times \text{tempo},ã
onde cada termo tem unidade compatível (por exemplo, litros = (litros/min) \times minutos). Isso significa que, se uma torneira tem vazão q e opera por tempo t, ela entrega o volume q\cdot t.

Passo 3

Aplicando a fórmula para a primeira torneira: ela enche metade do tanque, ou seja o volume \dfrac{V}{2}, com vazão 6 litros/min em tempo t_{1}. Assim
\frac{V}{2} = 6\cdot t_{1}.
Isolando t_{1} obtemos
t_{1} = \frac{V}{2\cdot 6} = \frac{V}{12}.

Passo 4

Analogamente, para a segunda torneira: ela enche a outra metade \dfrac{V}{2} com vazão 4 litros/min em tempo t_{2}. Logo
\frac{V}{2} = 4\cdot t_{2},
e isolando t_{2} fica
t_{2} = \frac{V}{2\cdot 4} = \frac{V}{8}.

Passo 5

Agora somamos os tempos t_{1} e t_{2}:
t_{1}+t_{2} = \frac{V}{12} + \frac{V}{8}.
Para somar as frações, usamos o denominador comum 24:
\frac{V}{12} = \frac{2V}{24},\qquad \frac{V}{8}=\frac{3V}{24},
portanto
t_{1}+t_{2} = \frac{2V}{24}+\frac{3V}{24}=\frac{5V}{24}.

Passo 6

Se quisermos uma única torneira de vazão r (em litros/min) que encha o tanque todo V no tempo t_{1}+t_{2}, devemos ter
r\cdot (t_{1}+t_{2}) = V.
Substituindo t_{1}+t_{2}=\dfrac{5V}{24} obtemos
r\cdot \frac{5V}{24} = V.
Como V>0, podemos cancelar V em ambos os lados, ficando
r\cdot \frac{5}{24} = 1 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{24}{5}.

Passo 7

Calculando o valor numérico:
r = \frac{24}{5} = 4{,}8\\ \text{litros por minuto}.
Verificação rápida: o tempo para encher V com essa vazão é V/r = V/(24/5)=5V/24, que coincide com t_{1}+t_{2} calculado antes, portanto está consistente.

Resposta

b) 4,8

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