(EPCAR 2016) Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente 2 horas e 40 minutos. A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em 2 horas de funcionamento, \frac{\mathrm{n}}{2} dessas peças. É correto afirmar que a máquina B , mantendo sua velocidade de produção constante, produziria também \frac{\mathrm{n}}{2} dessas peças em
a) 40 minutos.
b) 120 minutos.
c) 160 minutos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pergunta.
  • Informação 1: Juntas, as máquinas A e B produzem n peças em 2 horas e 40 minutos.
  • Informação 2: A máquina A, funcionando sozinha e com velocidade constante, produziria \dfrac{n}{2} peças em 2 horas.
  • Pergunta: Mantendo a velocidade constante, em quanto tempo a máquina B produziria \dfrac{n}{2} peças? As alternativas dadas são:
    • (a) 40 minutos;
    • (b) 120 minutos;
    • (c) 160 minutos.
Observação sobre unidades que vou usar: convém trabalhar em minutos para evitar confusão. Assim:
  • 2 horas =120 minutos;
  • 2 horas e 40 minutos =160 minutos.

Passo 2

Explicação do método (conceito usado): velocidade de produção é uma taxa constante. Para uma máquina com taxa (velocidade) r medida em peças por minuto, a quantidade de peças produzidas em um tempo t (minutos) é
\text{peças} = r\cdot t.ç
Aqui vamos definir as taxas de produção em peças por minuto:
  • a = taxa de A (peças/minuto);
  • b = taxa de B (peças/minuto).
Usaremos as duas informações do enunciado como equações lineares em a e b.

Passo 3

Usar a informação sobre a máquina A sozinha.
O enunciado diz que A produz \dfrac{n}{2} peças em 2 horas =120 minutos. Pela fórmula \text{peças}=r\cdot tç temos
a\cdot 120 = \frac{n}{2}.
Isolando a,
a = \frac{\tfrac{n}{2}}{120} = \frac{n}{240}\quad\text{(peças por minuto).}ç

Passo 4

Usar a informação sobre as duas máquinas trabalhando juntas.
Juntas produzem n peças em 160 minutos. Então
(a+b)\cdot 160 = n.
Isolando a+b,
a+b = \frac{n}{160}.
Substituindo o valor de a=\dfrac{n}{240},
b = \frac{n}{160} - \frac{n}{240}.
Fazendo a subtração com denominador comum 480,
\frac{n}{160} = \frac{3n}{480},\qquad \frac{n}{240}=\frac{2n}{480},
logo
b=\frac{3n}{480}-\frac{2n}{480}=\frac{n}{480}\quad\text{(peças por minuto).}ç

Passo 5

Calcular o tempo que B precisa para produzir \dfrac{n}{2} peças.
Queremos t tal que b\cdot t=\dfrac{n}{2}. Substituindo b=\dfrac{n}{480},
\frac{n}{480}\cdot t = \frac{n}{2}.
Cancelando n (assumindo n>0) e isolando t,
t = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{480}} = \frac{1}{2}\cdot 480 = 240\\ \text{minutos}.
Em horas isso é 240 minutos =4 horas.

Passo 6

Verificação e comparação com as alternativas dadas.
O tempo encontrado para B produzir \dfrac{n}{2} é 240 minutos. Das alternativas apresentadas:
  • (a) 40 minutos — não é 240;
  • (b) 120 minutos — não é 240;
  • (c) 160 minutos — não é 240.
Portanto nenhuma das alternativas a), b) ou c) coincide com o resultado correto.

Resposta

Nenhuma das alternativas (tempo correto: 240 minutos).

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