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-2015.1 - Adaptada) Considere a curva plana
definida por:
Obtenha uma equação para a reta tangente à curva
no ponto P de coordenadas
.
Passo 1
Vamos lá! Você tem uma curva definida pela equação $ x + \arctan(xy) - \sin\left(\frac{\pi}{2} y\right) = 0 $ e precisa encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto $ P(1, 0) $. Vamos usar o conteúdo de derivadas implícitas para resolver isso. Precisaremos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $ nesse ponto para determinar o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da equação da curva.
Passo 3
Como a equação da curva é dada de forma implícita (não está resolvida para $ y $), vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é uma função de $ x $.
A equação é:
Passo 4
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
- Para $ \arctan(xy) $, usamos a regra da cadeia:
- Para $ \sin\left(\frac{\pi}{2} y\right) $, também usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, juntando tudo e igualando a derivada de zero:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Rearranjando os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 7
Agora, isolamos $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 8
Vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(1, 0) $ na expressão para $ \frac{dy}{dx} $:
- $ x = 1 $
- $ y = 0 $
Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos a inclinação $ m = \frac{2}{\pi - 2} $, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Onde $ (x_0, y_0) = (1, 0) $.
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva $ C $ no ponto $ P(1, 0) $ é: