(2 2^ E E-2015.1 - Adaptada) Considere a curva plana C definida por:
x+arctg(x y)-sen(pi2 y)=0
Obtenha uma equação para a reta tangente à curva C no ponto P de coordenadas (1,0).

Passo 1

Vamos lá! Você tem uma curva definida pela equação $ x + \arctan(xy) - \sin\left(\frac{\pi}{2} y\right) = 0 $ e precisa encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto $ P(1, 0) $. Vamos usar o conteúdo de derivadas implícitas para resolver isso. Precisaremos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $ nesse ponto para determinar o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da equação da curva.

Passo 3

Como a equação da curva é dada de forma implícita (não está resolvida para $ y $), vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é uma função de $ x $.
A equação é:
y

Passo 4

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
  2. Para $ \arctan(xy) $, usamos a regra da cadeia:
x
  1. Para $ \sin\left(\frac{\pi}{2} y\right) $, também usamos a regra da cadeia:
x

Passo 5

Agora, juntando tudo e igualando a derivada de zero:
1 + 11 + (xy)^2 cdot (y + x cdot dydx) - cos(pi2 y) cdot pi2 cdot dydx = 0

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Rearranjando os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
1 + y1 + (xy)^2 + x1 + (xy)^2 cdot dydx - pi2 cos(pi2 y) cdot dydx = 0

Passo 7

Agora, isolamos $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 8

Vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(1, 0) $ na expressão para $ \frac{dy}{dx} $:
  • $ x = 1 $
  • $ y = 0 $
Substituindo:
P(1, 0)
Simplificando:
dydx

Passo 9

Agora que temos a inclinação $ m = \frac{2}{\pi - 2} $, podemos usar a fórmula da reta tangente:
m = 2pi - 2
Onde $ (x_0, y_0) = (1, 0) $.
Substituindo:
y - y0 = m (x - x0)
Simplificando:
(x0, y0) = (1, 0)

Resposta

A equação da reta tangente à curva $ C $ no ponto $ P(1, 0) $ é:
C

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