(CN 2015) Considere que as pessoas A e B receberão transfusão de sangue. Os aparelhos utilizados por A e B liberam, em 1 minuto, 19 e 21 gotas de sangue, respectivamente, e uma gota de sangue de ambos os aparelhos tem 0,04 \mathrm{~m} \ell. Os aparelhos são ligados simultaneamente e funcionam ininterruptamente até completarem um litro de sangue. O tempo que o aparelho de A levará a mais que o aparelho de B será, em minutos, de aproximadamente:
a) 125 .
b) 135 .
c) 145 .
d) 155 .

Passo 1

O enunciado pede o tempo que o aparelho de A levará a mais que o aparelho de B (em minutos), sabendo:
  • A libera \,19\\ \text{gotas/min}.
  • B libera \,21\\ \text{gotas/min}.
  • Uma gota de qualquer aparelho tem volume \,0,04\\ \mathrm{mL}.
  • Ambos começam ao mesmo tempo e funcionam até completarem \,1\\ \text{litro} = 1000\\ \mathrm{mL}.
O que se quer: calcular \,t_A-t_B, onde \,t_A e \,t_B são os tempos que A e B demoram para entregar \,1000\\ \mathrm{mL}.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar a taxa de gotas em taxa de volume (mL por minuto).
Uma gota vale \,0,04\\ \mathrm{mL} = \dfrac{1}{25}\\ \mathrm{mL}.
Logo as taxas são:
r_A = 19\times\frac{1}{25}=\frac{19}{25}\\ \mathrm{mL/min},
r_B = 21\times\frac{1}{25}=\frac{21}{25}\\ \mathrm{mL/min}.
Em forma decimal (para intuir): \,r_A=0,76\\ \mathrm{mL/min} e \,r_B=0,84\\ \mathrm{mL/min}.

Passo 3

Tempo necessário para entregar \,1000\\ \mathrm{mL} é volume dividido pela taxa:
t_A=\frac{1000}{r_A}=\frac{1000}{19/25}=1000\cdot\frac{25}{19}=\frac{25000}{19},
t_B=\frac{1000}{r_B}=\frac{1000}{21/25}=1000\cdot\frac{25}{21}=\frac{25000}{21}.

Passo 4

Calcular as frações em forma decimal por divisão longa (mostrando restos para ficar claro como fazer sem calculadora):
Para \,t_A=\dfrac{25000}{19}:
  • 19\times1315=24985, resto 25000-24985=15.
  • Logo t_A=1315+\dfrac{15}{19}=1315,\underbrace{789473684\ldots}_{\text{repetição}}çã.
    Assim \,t_A\approx1315,789\\ \text{min}.
Para \,t_B=\dfrac{25000}{21}:
  • 21\times1190=24990, resto 25000-24990=10.
  • Logo t_B=1190+\dfrac{10}{21}=1190,\underbrace{476190\ldots}_{\text{repetição}}çã.
    Assim \,t_B\approx1190,476\\ \text{min}.

Passo 5

Agora a diferença:
t_A-t_B=\frac{25000}{19}-\frac{25000}{21}=25000\!\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{21}\right).
Colocando no mesmo denominador:
t_A-t_B=25000\cdot\frac{21-19}{19\cdot21}=25000\cdot\frac{2}{399}=\frac{50000}{399}.
Fazendo a divisão:
  • 399\times125=49875, resto 50000-49875=125.
  • Então \dfrac{50000}{399}=125+\dfrac{125}{399}\approx125,313\\ \text{min}.

Passo 6

Interpretação final: a diferença de tempo é aproximadamente \,125,313\\ \text{minutos}. Arredondando para a alternativa mais próxima das dadas, a diferença corresponde a cerca de \,125\\ \text{min}.

Resposta

a) 125

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