1. A, B e C realizam um trabalho em 16 , 32 e 48 dias, respectivamente. Eles começam trabalhando juntos, mas C vai embora depois de trabalhar 4 dias e \mathrm{B}, 2 dias antes de completarem o trabalho. O número total de dias necessários para completar o trabalho foi
    a) 8 dias
    b) 9 \frac{1}{9} dias
    c) 11 dias
    d) 10 \frac{4}{9} dias

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número total de dias necessários para completar o trabalho dadas as informações sobre os tempos individuais e as saídas de C e B. Informações fornecidas:
  • A completa o trabalho em 16 dias.
  • B completa o trabalho em 32 dias.
  • C completa o trabalho em 48 dias.
  • Eles começam trabalhando todos juntos.
  • C vai embora após trabalhar 4 dias.
  • B vai embora 2 dias antes do término do trabalho (ou seja, B trabalha até o instante T-2 se T for o tempo total em dias).
  • Pergunta: qual é o valor de T, o número total de dias necessários para completar o trabalho?

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): usar taxa de trabalho. Cada trabalhador tem uma taxa constante igual à fração do trabalho que faz por dia. Se um trabalhador faz o trabalho todo em d dias, sua taxa é \dfrac{1}{d} (parte do trabalho por dia). Quando vários trabalham juntos durante um intervalo de tempo t, a parte do trabalho feita nesse intervalo é a soma das taxas vezes t. No final, a soma das partes feitas em todos os intervalos deve ser 1 (o trabalho completo).

Passo 3

Calcular as taxas individuais (parte do trabalho por dia):
\text{taxa de A}=\frac{1}{16},\qquad \text{taxa de B}=\frac{1}{32},\qquad \text{taxa de C}=\frac{1}{48}.
Para facilitar contas, colocar com um denominador comum (o mínimo múltiplo de 16,32,48 é 96):
\frac{1}{16}=\frac{6}{96},\qquad \frac{1}{32}=\frac{3}{96},\qquad \frac{1}{48}=\frac{2}{96}.
Soma das três taxas:
\frac{6}{96}+\frac{3}{96}+\frac{2}{96}=\frac{11}{96}.
Soma de A e B:
\frac{6}{96}+\frac{3}{96}=\frac{9}{96}.

Passo 4

Descrever os intervalos de trabalho em função do tempo total T:
  • Intervalo 1: dos 0 aos 4 dias — A, B e C trabalham juntos; duração 4 dias.
  • Intervalo 2: do dia 4 até o dia T-2 — apenas A e B trabalham; duração (T-2)-4=T-6 dias.
  • Intervalo 3: dos T-2 até T — apenas A trabalha; duração 2 dias.
    Verificação rápida das durações: 4+(T-6)+2=T, coerente.

Passo 5

Escrever a equação do trabalho total como soma das contribuições em cada intervalo igual a 1:
contribuição do intervalo 1:
4\cdot\frac{11}{96}
contribuição do intervalo 2:
(T-6)\cdot\frac{9}{96}
contribuição do intervalo 3:
2\cdot\frac{6}{96}
Somando e igualando a 1:
4\cdot\frac{11}{96}+(T-6)\cdot\frac{9}{96}+2\cdot\frac{6}{96}=1.

Passo 6

Resolver a equação passo a passo. Primeiro somar os termos constantes:
4\cdot\frac{11}{96}=\frac{44}{96},\qquad 2\cdot\frac{6}{96}=\frac{12}{96}.
Substituindo:
\frac{44}{96}+\frac{9(T-6)}{96}+\frac{12}{96}=1.
Somar \frac{44}{96}+\frac{12}{96}=\frac{56}{96}:
\frac{56}{96}+\frac{9(T-6)}{96}=1.
Multiplicar ambos os lados por 96 para eliminar denominadores:
56+9(T-6)=96.
Expandir 9(T-6):
56+9T-54=96.
Combinar constantes:
9T+2=96.
Isolar T:
9T=94\quad\Rightarrow\quad T=\frac{94}{9}.
Transformar em número misto:
\frac{94}{9}=10\frac{4}{9}.

Passo 7

Checagem rápida (controle): calcular numericamente as contribuições com T=\dfrac{94}{9}.
  • Intervalo 1 (4 dias, 3 pessoas): 4\cdot\frac{11}{96}=\frac{44}{96}\approx0,45833.
  • Intervalo 2 (duração T-6=\frac{94}{9}-6=\frac{40}{9}\approx4,4444 dias, A+B): \frac{40}{9}\cdot\frac{9}{96}=\frac{40}{96}\approx0,4166667.
  • Intervalo 3 (2 dias, só A): 2\cdot\frac{6}{96}=\frac{12}{96}=0,125.
    Somando: 0,45833+0,4166667+0,125=1. Confere que o trabalho fica completo.

Resposta

d) 10\frac{4}{9} dias

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