(2016-1) Considere a função f: R R dada por f(x)=a x^2+2 x+1. O valor de a para que a imagem de f seja (-infty, 3) pertence ao intervalo:
(a) (-1,0),

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=a x^2+2x+1, ainR,
e pede o valor de a tal que a imagem de f seja (-infty,3). Trata–se de uma parábola cujo formato (concavidade para cima ou para baixo) depende do sinal de a. Para a imagem ser limitada superiormente por 3, precisamos que a parábola seja voltada para baixo (isto é, a<0) e que seu valor máximo seja exatamente 3.

Passo 2

Quando a<0, f atinge um valor máximo no vértice. A abscissa do vértice é
xv = -b2a = -22a = -1a
O valor máximo é
f(xv)=al(-tfrac1ar)^2+2l(-tfrac1ar)+1 = 1a -2a+1 =1-1a

Passo 3

Para que a imagem seja até 3 (mas sem ultrapassar), impomos
f(xv)=3 Longrightarrow 1-1a=3 Longrightarrow -1a=2 Longrightarrow a=-12
Note que esse valor satisfaz de fato a<0, garantindo concavidade para baixo.

Passo 4

Com a=-tfrac12, a parábola tem máximo 3 e atinge todos os valores abaixo disso, ou seja, a imagem é (-infty,3]. Como o enunciado pediu (-infty,3) (intervalo aberto em 3), não há forma de não incluir o ponto de máximo, mas o único a que coloca o máximo em 3 é -tfrac12.

Resposta

O valor de a encontrado é -tfrac12, que pertence ao intervalo da alternativa (a):
(-1,0)

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