x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=x^4 ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^3y^primeprimeprime-3x^2y^primeprime+6xy^prime-6y = x^4ln x
Isso é uma equação de Cauchy–Euler linear de terceira ordem. Para a parte homogênea
x^3y^primeprimeprime-3x^2y^primeprime+6xy^prime-6y=0
supomos uma solução do tipo y=x^m, o que gera a equação característica
m(m-1)(m-2)-3m(m-1)+6m-6 = 0
ou seja
m^3-6m^2+11m-6=(m-1)(m-2)(m-3)=0,
cujas raízes são m=1,2,3. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1x + C2x^2 + C3x^3

Passo 2

Para a parte particular, como o termo à direita é x^4ln x e m=4 não é raiz da característica, usamos o método dos coeficientes a determinar com o palpite
yp = A,x^4ln x + B,x^4,
onde A e B são constantes a achar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp = A x^4ln x + B x^4,
yp' = Al(4x^3ln x + x^3r) + 4B x^3 = A,x^3(4ln x +1) +4B x^3,
yp'' = A,x^2l(12ln x +7r) +12B x^2,
yp''' = A,xl(24ln x +26r) +24B x

Passo 4

Substituindo em
L[y]=x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y
temos, agrupando os termos em x^4ln x e x^4:
L[yp] = a,x^4(6ln x+11)+b,x^4(6),
onde trocamos Ato a e Bto b apenas para clareza.

Passo 5

Queremos L[yp]=x^4ln x, isto é
6a = 1, 11a + 6b = 0
Da primeira equação vem a=tfrac16. Substituindo na segunda,
11cdottfrac16 +6b = 0 Longrightarrow b = -tfrac1136

Resposta

A solução geral da equação é
boxedy(x) = C1x + C2x^2 + C3x^3 + 16,x^4ln x - 1136,x^4

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