Se o comprimento original x do lado de um cubo de 24 m diminui à taxa de 5 m / min quando x=3, a que taxa
a. a área da superfície do cubo varia?
b. o volume do cubo varia?

Passo 1

O enunciado diz que o lado do cubo tem comprimento x(t) e que dfracdxdt=-5,m/min no instante em que x=3,m. Vamos usar derivação implícita em funções de x para encontrar as taxas de variação da área da superfície e do volume do cubo em função de dfracdxdt.

Passo 2

A área da superfície do cubo é
A(x) = 6x^2
Para achar dfracdAdt, aplicamos a regra da cadeia:
dAdt = dAdx,dxdt = (12x),dxdt

Passo 3

No instante considerado temos x=3,m e dfracdxdt=-5,m/min. Substituindo:
dAdt = 12 cdot 3 cdot (-5) = -180
Logo, a área varia a -180, m^2/min.

Passo 4

O volume do cubo é
V(x) = x^3
Derivando em relação ao tempo pelo mesmo procedimento:
dVdt = dVdx,dxdt = (3x^2),dxdt

Passo 5

Substituindo x=3,m e dfracdxdt=-5,m/min:
dVdt = 3 cdot 3^2 cdot (-5) = 3 cdot 9 cdot (-5) = -135
Portanto, o volume varia a -135, m^3/min.

Resposta

(a) dfracdAdt = -180, m^2/min
(b) dfracdVdt = -135, m^3/min

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