Derive:
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cos x}{\left(x^{4}+\tan ^{2}(x)+1\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}}\cos x}{\bigl(x^{4}+\tan^{2}x+1\bigr)^{2}}.
Aqui vamos precisar das regras de derivação de funções compostas (regra da cadeia), do produto e do quociente, além das derivadas básicas de potenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Para organizar, definimos
u(x)=\sqrt[3]{x^{2}}\cos x=x^{\frac{2}{3}}\cos x, \qquad w(x)=\bigl(x^{4}+\tan^{2}x+1\bigr)^{2}.
Assim
f(x)=\frac{u(x)}{w(x)}.

Passo 3

Calculamos u'(x) usando produto e cadeia:
u(x)=x^{\frac{2}{3}}\cdot\cos x
u'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{\frac{2}{3}}\bigr)\cos x + x^{\frac{2}{3}}\frac{d}{dx}(\cos x) =\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\cos x - x^{\frac{2}{3}}\sin x.

Passo 4

Agora w(x)=\bigl(v(x)\bigr)^{2} com v(x)=x^{4}+\tan^{2}x+1.
Primeiro v'(x):
v'(x)=4x^{3}+2\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
Pela regra da cadeia,
w'(x)=2\,v(x)\,v'(x) =2\bigl(x^{4}+\tan^{2}x+1\bigr)\bigl(4x^{3}+2\tan x\operatorname{sec}^{2}x\bigr).

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,w(x)-u(x)\,w'(x)}{\bigl(w(x)\bigr)^{2}}.
Como w(x)=(v(x))^{2}, temos \bigl(w(x)\bigr)^{2}=(v(x))^{4}. Podemos simplificar escrevendo
f'(x) =\frac{u'(x)\,(v(x))^{2}-u(x)\,2\,v(x)\,v'(x)}{(v(x))^{4}} =\frac{u'(x)\,v(x)-2\,u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{3}}.

Passo 6

Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =\frac{\bigl(\tfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\cos x - x^{\frac{2}{3}}\sin x\bigr)\bigl(x^{4}+\tan^{2}x+1\bigr) -2\,x^{\frac{2}{3}}\cos x\bigl(4x^{3}+2\tan x\operatorname{sec}^{2}x\bigr)} {\bigl(x^{4}+\tan^{2}x+1\bigr)^{3}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\bigl(\tfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\cos x - x^{\frac{2}{3}}\sin x\bigr)\bigl(x^{4}+\tan^{2}x+1\bigr) -2\,x^{\frac{2}{3}}\cos x\bigl(4x^{3}+2\tan x\operatorname{sec}^{2}x\bigr)} {\bigl(x^{4}+\tan^{2}x+1\bigr)^{3}}.

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