(2017-1) Considere a função dada por f(x)=a x^2+(2 x)+a. O valor de a para que a imagem de f seja (-infty, 2) pertence ao intervalo:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=a,x^2+2x+a
definida em todo R e pede o valor de a para que a imagem (o conjunto de valores de f) seja (-infty,2). Vamos usar propriedades de quadráticas: para que o gráfico de f seja um “sorriso para baixo” (isto é, vá até -infty quando xtopminfty) e fique sempre abaixo de 2, o coeficiente quadrático deve ser negativo e a abscissa do vértice dá o valor máximo.

Passo 2

Para que f(x)to -infty quando xtopminfty, precisamos de
a<0

Passo 3

O valor máximo de f é o valor no vértice, que ocorre em x=-b2a=-22a=-1a. Calculamos
fl(-tfrac1ar) = al(-tfrac1ar)^2 +2l(-tfrac1ar) + a = 1a-2a +a = a-1a
Queremos que esse máximo seja exatamente 2, pois assim todo valor de f(x) fica abaixo de 2 mas atinge arbitrariamente próximo de 2. Logo:
a-1a = 2

Passo 4

Resolvendo a equação
a-1a = 2 Longrightarrow a^2 -1 =2a Longrightarrow a^2 -2a -1=0
As raízes são
a = 2pmraiz4+42 = 1pmraiz2
Dessas, só a que satisfaz a<0 é
a = 1-raiz2 approx -0,4142

Resposta

a = 1 - raiz2

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