Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+4 y=x^2+3 e^x, y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a equação diferencial não homogênea
y'' + 4y = x^2 + 3e^x,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2.
O conteúdo aqui é equação linear de segunda ordem; a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh resolve a homogênea e yp é uma particular obtida pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea
y''+4y=0
A característica é r^2+4=0, com raízes r=pm2i. Logo
yh(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)

Passo 3

Buscamos uma solução particular para o termo polinomial x^2. Assumimos
yp1(x)=Ax^2+Bx+C
Então
yp1''=2A, yp1''+4yp1=2A+4(Ax^2+Bx+C) =4A x^2+4Bx+(2A+4C)
Igualando a x^2 obtemos
4A=1, 4B=0, 2A+4C=0
logo
A=tfrac14, B=0, C=-tfrac18

Passo 4

Para o termo 3e^x tentamos
yp2(x)=De^x
Como e^x não é solução da homogênea, temos
yp2''+4yp2=(D+4D)e^x=5D,e^x overset!=3e^x Longrightarrow D=tfrac35

Passo 5

A solução particular completa é
yp(x)=yp1(x)+yp2(x) =tfrac14x^2-tfrac18+tfrac35e^x
Logo a solução geral é
y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)+tfrac14x^2-tfrac18+tfrac35e^x

Passo 6

Aplicando y(0)=0:
y(0)=C1 - tfrac18 + tfrac35 =0 Longrightarrow C1=tfrac18-tfrac35=-tfrac1940

Passo 7

Derivando
y'(x)=-2C1sin(2x)+2C2cos(2x)+tfrac12x+tfrac35e^x,
e usando y'(0)=2:
y'(0)=2C2+tfrac35=2 Longrightarrow 2C2=tfrac75 Longrightarrow C2=tfrac710

Resposta

y(x)=-tfrac1940cos(2x)+tfrac710sin(2x)+tfrac14x^2-tfrac18+tfrac35e^x

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