Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+y^prime-2 y=2 x, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
y'' + y' - 2y = 2x
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) buscar uma solução particular de grau compatível com o termo forçante 2x.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 + r - 2 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
isto é, r1 = 1 e r2 = -2. Logo, a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-2x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em x, tentamos uma solução particular do mesmo grau:
yp(x) = A,x + B
Então
yp'(x) = A, yp''(x) = 0

Passo 4

Substituindo yp na ODE original:
0 + A - 2(Ax + B) = 2x ;Longrightarrow; -2A,x + (A - 2B) = 2x
Igualando coeficientes de x e termo constante, obtemos
-2A = 2 Rightarrow A = -1,
A - 2B = 0 Rightarrow -1 - 2B = 0 Rightarrow B = -tfrac12
Assim,
yp(x) = -x - tfrac12

Passo 5

A solução geral da ODE é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^-2x - x - tfrac12
Calculamos a derivada
y'(x) = C1 e^x - 2C2 e^-2x - 1
Agora aplicamos as condições iniciais:
y(0)=0 ;Longrightarrow; C1 + C2 - 0 - tfrac12 = 0 ;Longrightarrow; C1 + C2 = tfrac12,
y'(0)=1 ;Longrightarrow; C1 - 2C2 - 1 = 1 ;Longrightarrow; C1 - 2C2 = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac12, C1 - 2C2 = 2,
subtraindo a primeira da segunda:
(C1 - 2C2) - (C1 + C2) = 2 - tfrac12 ;Longrightarrow; -3C2 = tfrac32 ;Longrightarrow; C2 = -tfrac12,
C1 = tfrac12 - C2 = tfrac12 - l(-tfrac12r) = 1

Resposta

boxedy(x) = e^x - tfrac12,e^-2x ;-; x ;-; tfrac12

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