Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) buscar uma solução particular de grau compatível com o termo forçante
.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
cuja solução é
isto é,
e
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em
, tentamos uma solução particular do mesmo grau:
Então
Passo 4
Substituindo
na ODE original:
Igualando coeficientes de
e termo constante, obtemos
Assim,
Passo 5
A solução geral da ODE é
Calculamos a derivada
Agora aplicamos as condições iniciais:
Passo 6
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda: