(2/2018) Calcule
, em que
e
é a superfície do sólido
limitado pelo plano
e pelo paraboloide
e (orientada para fora).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo ∬ₛ F·dS onde F(x,y,z) = (2 x y² + z, x eˣ – cos z, sen y + 2 x² z) e S é a superfície fechada do sólido W limitada pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4 – x² – y², orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência e, em seguida, coordenadas cilíndricas para avaliar o integral.
Passo 2
Primeiro, calculamos a divergência de F, que aparece no Teorema da Divergência: ∇·F = ∂/∂x(2 x y² + z) + ∂/∂y(x eˣ – cos z) + ∂/∂z(sen y + 2 x² z). Calculando cada termo:
2 y² + 0 + 2 x² = 2(x² + y²). Portanto,
[∇·F = 2(x² + y²)]
2 y² + 0 + 2 x² = 2(x² + y²). Portanto,
[∇·F = 2(x² + y²)]
Passo 3
Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é o integral triplo de ∇·F sobre W:
[∬ₛ F·dS = ∭_W 2(x² + y²),dV]
[∬ₛ F·dS = ∭_W 2(x² + y²),dV]
Passo 4
Para avaliar ∭_W 2(x² + y²),dV, usamos coordenadas cilíndricas: x = r cosθ, y = r sinθ, dV = r dr dθ dz. No sólido W temos 0 ≤ z ≤ 4 – r², 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Então:
[∭_W 2(x² + y²),dV = ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{2} ∫_{z=0}^{4–r²} 2(r²),r ,dz ,dr ,dθ]
[∭_W 2(x² + y²),dV = ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{2} ∫_{z=0}^{4–r²} 2(r²),r ,dz ,dr ,dθ]
Passo 5
Integrando em z primeiro: ∫₀^{4–r²} dz = 4 – r². Então o integral torna-se
[∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{2} 2 r³(4 – r²),dr ,dθ]
[∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{2} 2 r³(4 – r²),dr ,dθ]
Passo 6
Agora o integral em r:
[2 ∫_{0}^{2} (4 r³ – r⁵),dr = 2\bigl[ r⁴ – \frac{r⁶}{6} \bigr]_{0}^{2} = 2\bigl(16 – \frac{64}{6} \bigr) = \frac{32}{3}]
[2 ∫_{0}^{2} (4 r³ – r⁵),dr = 2\bigl[ r⁴ – \frac{r⁶}{6} \bigr]_{0}^{2} = 2\bigl(16 – \frac{64}{6} \bigr) = \frac{32}{3}]
Passo 7
Por fim, integra-se em θ: ∫₀^{2π} dθ = 2π, então o resultado é (32/3)·2π = 64π/3.