(2/2018 - extra) Demonstre o Teorema de Green, assumindo o Teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar o Teorema de Green a partir do Teorema de Stokes. O Teorema de Green afirma que, para uma região D plana com fronteira simples fechada C orientada positivamente, vale
Vamos usar o Teorema de Stokes em
, que diz
Para aplicar, precisamos escolher um campo vetorial
em
e uma superfície
cuja fronteira seja exatamente
.
Passo 2
Escolhemos como superfície
a região plana
no plano
, orientada por
. Definimos o campo em
Dessa forma a curva
é exatamente
, orientada positivamente no plano.
Passo 3
Precisamos calcular o rotacional de
. Lembrando a fórmula em coordenadas cartesianas,
Como
e
não dependem de
, isso simplifica para
O produto escalar com
dá
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Stokes:
No lado esquerdo, como
e
, temos exatamente
No lado direito, como
é o domínio
em
, o elemento de área
coincide com
e ficamos com
Passo 5
Juntando as duas igualdades acima obtemos
que é exatamente o enunciado do Teorema de Green. Assim, demonstramos o Teorema de Green assumindo o Teorema de Stokes.