(2/2018 - extra) Demonstre o Teorema de Green, assumindo o Teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar o Teorema de Green a partir do Teorema de Stokes. O Teorema de Green afirma que, para uma região D plana com fronteira simples fechada C orientada positivamente, vale
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Vamos usar o Teorema de Stokes em R^3, que diz
integralpartial S Fcdot d r = integral duplaS (nablatimes F)cdot hat n,dS
Para aplicar, precisamos escolher um campo vetorial F em R^3 e uma superfície S cuja fronteira seja exatamente C.

Passo 2

Escolhemos como superfície S a região plana D no plano z=0, orientada por hat n=(0,0,1). Definimos o campo em R^3
F(x,y,z) = l(P(x,y),;Q(x,y),;0r)
Dessa forma a curva partial S é exatamente C, orientada positivamente no plano.

Passo 3

Precisamos calcular o rotacional de F. Lembrando a fórmula em coordenadas cartesianas,
nablatimes F = l(partialpartial y0 - partialpartial zQ, ; partialpartial zP - partialpartial x0, ; partial Qpartial x - partial Ppartial yr)
Como P e Q não dependem de z, isso simplifica para
nablatimes F = (0,;0,;tfracpartial Qpartial x - tfracpartial Ppartial y)
O produto escalar com hat n=(0,0,1)
(nablatimes F)cdot hat n = partial Qpartial x - partial Ppartial y

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Stokes:
integralpartial S Fcdot d r = integral duplaS (nablatimes F)cdot hat n,dS
No lado esquerdo, como F=(P,Q,0) e partial S=C, temos exatamente
integralpartial S Fcdot d r = ointC P,dx + Q,dy
No lado direito, como S é o domínio D em z=0, o elemento de área dS coincide com dA e ficamos com
integral duplaS (nablatimes F)cdot hat n,dS = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 5

Juntando as duas igualdades acima obtemos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
que é exatamente o enunciado do Teorema de Green. Assim, demonstramos o Teorema de Green assumindo o Teorema de Stokes.

Resposta

ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

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