Calcule a integral abaixo:
integral 2 y raiz1+y^2 d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 2y raiz1+y^2,dy. O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos uma função composta raiz1+y^2 e sua derivada 2y aparece multiplicando.

Passo 2

Para aplicar substituição, definimos a nova variável u igual ao interior da raiz:
u = 1 + y^2
Derivando, obtemos
du = 2y,dy,
ou seja, o diferencial 2y,dy da integral original é exatamente du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos:
integral 2yraiz1+y^2,dy = integral raizu,du

Passo 4

Agora basta integrar a potência de u. Lembremos que
integral u^1/2,du = u^3/23/2 + C = 23u^3/2 + C

Passo 5

Voltando à variável original y, substituímos u = 1+y^2 no resultado:
23(1+y^2)^3/2 + C

Resposta

23(1+y^2)^3/2 + C

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