Encontre f se f^prime prime(x)=12 x^2+6 x-4, f(0)=4 e f(1)=1.

Passo 1

Temos a segunda derivada f''(x)=12x^2+6x-4 e as condições f(0)=4, f(1)=1. O assunto é resolução de EDO de segunda ordem por integração indefinida, ou seja, vamos integrar duas vezes e usar as condições para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integrando a segunda derivada para obter a primeira derivada:
f'(x)=integral(12x^2+6x-4),dx=4x^3+3x^2-4x+C1

Passo 3

Integrando a primeira derivada para obter f(x):
f(x)=integral f'(x),dx=integral(4x^3+3x^2-4x+C1),dx=x^4+x^3-2x^2+C1x+C2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais:
Para x=0:
f(0)=C2=4
Para x=1:
f(1)=1+1-2+C1+4=C1+4=1implies C1=-3

Passo 5

Substituindo C1=-3 e C2=4 na expressão geral de f(x) obtém-se a solução final.

Resposta

f(x)=x^4+x^3-2x^2-3x+4

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