(2019/2) Calcule integralegral duplaS F cdot d S, em que F(x, y, z)=(y, x, z) e S é a superfície do paraboloide z=x^2+y^2 (com z <= 9 ) com orientação para fora.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de fluxo integral duplaSvec Fcdot d S, onde vec F(x,y,z)=(y,x,z) e S é a superfície lateral do paraboloide z=x^2+y^2 com 0<= z<=9, orientada para fora do sólido delimitado.

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) numa superfície fechada que consiste na superfície lateral do paraboloide S mais o disco superior D em z=9. Pelo teorema, o fluxo total é o volume do divergente.

Passo 3

Calculamos o divergente de vec F:
nablacdotvec F=partial ypartial x+partial xpartial y+partial zpartial z=0+0+1=1

Passo 4

O fluxo através da superfície fechada Scup D é
integral triplaV(nablacdotvec F),dV=integral triplaV1,dV=Volume(V),
onde V é o sólido sob o paraboloide de z=0 até z=9.

Passo 5

Para encontrar o volume de V, usamos coordenadas cilíndricas: em cada altura z, a seção é um disco de raio raiz z. Logo
Volume(V)=integral0^9 pi(raiz z)^2,dz=integral0^9pi z,dz=pi9^22=81pi2

Passo 6

Agora calculamos o fluxo apenas pelo disco superior D:,z=9,;x^2+y^2<=9, cujo vetor normal exterior é + k. Temos vec F|z=9=(y,x,9), então
vec Fcdot n=9
em todo D. Assim
integral duplaDvec Fcdot d S=9timesÁrea(D)=9timespicdot3^2=81piÁ

Passo 7

Pelo Teorema de Gauss,
integral duplaScup Dvec Fcdot d S=81pi2
Como queremos só o fluxo na superfície lateral S, orientada para fora, subtraímos o fluxo no disco:
integral duplaSvec Fcdot d S=81pi2-81pi=-81pi2

Resposta

-\frac{81\pi}{2}

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