(2019/2) Calcule
, em que
e
é a superfície do paraboloide
(com
) com orientação para fora.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
, onde
e
é a superfície lateral do paraboloide
com
, orientada para fora do sólido delimitado.
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) numa superfície fechada que consiste na superfície lateral do paraboloide
mais o disco superior
em
. Pelo teorema, o fluxo total é o volume do divergente.
Passo 3
Calculamos o divergente de
:
Passo 4
O fluxo através da superfície fechada
é
onde
Passo 5
Para encontrar o volume de
, usamos coordenadas cilíndricas: em cada altura
, a seção é um disco de raio
. Logo
Passo 6
Agora calculamos o fluxo apenas pelo disco superior
, cujo vetor normal exterior é
. Temos
, então
em todo
Passo 7
Pelo Teorema de Gauss,
Como queremos só o fluxo na superfície lateral
Resposta
-\frac{81\pi}{2}